6.3 宇宙学航图：膨胀的宇宙

6.3 宇宙学航图：膨胀的宇宙

本节摘要：把"均匀各向同性"写进宇宙学原理，场方程给出弗里德曼-罗伯逊-沃克度规与弗里德曼方程——整张宇宙海图只依赖标度因子 a(t) 与曲率 k。红移即标度因子的倒数比，临界密度与三个 Ω 参数构成宇宙的收支表；1998 年 Type Ia 超新星揭示加速膨胀，暗能量（宇宙学常数的翻案，见 3.2 节）占账本约七成。本站用数值积分回溯宇宙史，算出年龄、红移距离与命运三岔口。

宇宙学原理与 FRW 海图

航志最后一次换镜头：从黑洞航区拉到整个可观测宇宙。站在十亿秒差距的尺度上看，星系团像均匀撒开的粉末、朝哪个方向看都一样——把这条经验事实升格为宇宙学原理（均匀且各向同性），场方程的解被压缩到几乎唯一的形态（弗里德曼、罗伯逊、沃克三人的工作）：

ds² = −c²dt² + a(t)²[dr²/(1 − kr²) + r²dΩ²]

全部动力学住进一个函数 a(t)（标度因子）和一个常数 k（空间曲率，取 −1、0、1）。直观读法：星系协动不动，是空间网格本身在伸缩——不是星系在空间里飞散（这也解释了为什么没有"膨胀中心"：每处看到的退行都一样）。红移的账目由此改写：光在旅途中被拉伸的比例就是标度因子的比值，1 + z = a(当下)/a(发光时)——宇宙学红移不是多普勒效应，是几何记账。

弗里德曼方程：宇宙的收支表

把 FRW 度规代入场方程，右侧放上 3.1 节的理想流体（能量密度 ρ、压强 p），得到两条弗里德曼方程：

(a′/a)² = 8πGρ/3 − kc²/a² + Λc²/3，a″/a = −(4πG/3)(ρ + 3p/c²) + Λc²/3

第一条是能量账（膨胀率平方等于各组分贡献减曲率加宇宙学常数），第二条是力账——注意那个熟悉的组合 ρ 加 3p：普通物质与辐射使膨胀减速（源强度为正），负压成分（暗能量 p ≈ −ρc²）使膨胀加速。3.1 节排练过的"负压翻转引力符号"，在这里成为宇宙加速的引擎。定义临界密度 ρ_c = 3H²/8πG（H 即 a′/a，哈勃参数），各组分占比记作 Ω_i = ρ_i/ρ_c，当代观测的收支表：物质约 0.31（其中普通物质仅 0.05，暗物质 0.26）、暗能量约 0.69、曲率近乎 0——一张"平直、以暗能量主导"的账本。

图 6-3 宇宙航行史：标度因子的十四亿年账本

红移、距离阶梯与 1998 年的转折

怎么知道宇宙在膨胀、还在加速？靠距离阶梯一级级往外量：近处用视差，再远用造父变星，最远用 Type Ia 超新星——5.4 节提过，白矮星摸到钱德拉塞卡极限整星引爆，光度近乎整齐划一，是天然的"标准烛光"。1998 年两个团队用高红移超新星画"距离-红移图"，发现遥远超新星比减速宇宙的预期更暗更远：宇宙不是在减速，而是在加速。加速需要负压，账本上唯一的候选是宇宙学常数——3.2 节那段"最大错误"的翻案史在此收官。2011 年诺贝尔奖授予这一发现。

数值航程：回溯宇宙史

# 数值积分弗里德曼方程：物质加暗能量的平直宇宙
import math
H0 = 2.2e-18                  # 当今哈勃率，每秒
Om, OL = 0.31, 0.69           # 物质与暗能量占比
def E(a):                     # 弗里德曼方程右边开方（归一化）
    return math.sqrt(Om/a**3 + OL)
a, da = 1.0, 1e-5
t = 0.0                       # 从今天倒着往回积分
dt_by_da = lambda a: 1.0/(a*E(a)*H0)   # dt/da，注意 a 乘 H
age = 0.0
n = 20000
da_step = 1.0/n
for i in range(n):            # 从 a=1 积分回 a≈0
    a_now = 1.0 - i*da_step
    age += dt_by_da(a_now)*da_step
print(f"宇宙年龄约 {age/3.156e7/1e9:.1f} 十亿年（观测值 13.8）")
a_decel_end = (Om/OL)**(1/3)  # 物质暗能量平等的标度因子
z_transition = 1/a_decel_end - 1
print(f"加速开始于红移 z ≈ {z_transition:.2f}（约 60 至 80 亿年前）")
​

读数：数值积分给出宇宙年龄约 137 至 138 亿年（与普朗克卫星的 13.8 十亿年一致——误差来自 H0 与 Ω 的取值）；物质与暗能量"平权"发生在红移 0.3 上下，加速由此开始。变式：把 Λ 设为零再积一遍，年龄会缩短到约 97 亿年——暗能量不只是"在加速"，它还把宇宙的岁数拉长了三分之一（同样的膨胀率，减速宇宙来不及走这么远）。

# 红移到距离：回望时间与共动距离
import math
H0_yr = 1/1.40e10             # 哈勃时间
Om, OL = 0.31, 0.69
def lookback(z):
    n, s = 400, 0.0
    dz = z/n
    for i in range(n):        # 积分 dz 除以 E 乘 1 加 z
        zi = (i+0.5)*dz
        s += dz/((1+zi)*math.sqrt(Om*(1+zi)**3 + OL))
    return s*H0_yr
for z in [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]:
    print(f"z = {z}: 回望时间约 {lookback(z):.1f} 十亿年")
print("z=5 的光出发时，宇宙年龄只有今天的九分之一")
​

第二段航程把红移翻译成回望时间：红移 1 对应约 77 亿年前，红移 5 对应约 125 亿年前——韦布望远镜盯着 z 大于 10 的星系时，看的是宇宙头三亿年的婴儿照。命运三岔口也在账上：Ω_Λ 为正的平直宇宙将永远加速膨胀，星系彼此退行、夜空越来越空——若暗能量是宇宙学常数（状态方程恒为 −1），这是条不归路；若它会演化，剧本重写。这也是 6.5 节开放问题清单的头一条。

⚠️ 航行警告：宇宙学红移与多普勒红移账目同形、机制不同——前者是空间伸缩对波长的拉伸，后者是源与观者的相对运动。把 z=5 说成"以五倍光速退行"是初学最常见的账目事故：协动距离可以超过光速，局部相对速度永远不超。

本站要点

• FRW 度规：宇宙学原理把场方程的解压缩到标度因子 a(t) 与曲率 k 两个量；膨胀是网格伸缩，红移即标度比 1 + z = a_今/a_发；
• 弗里德曼方程：能量账与力账各一条；ρ 加 3p 决定加减速，暗能量凭负压驱动加速；
• 收支表：暗能量 0.69、物质 0.31（普通物质仅 0.05）、曲率近零——平直而以暗能量主导；
• 1998 转折：Type Ia 超新星的标准烛光揭示加速膨胀，宇宙学常数翻案，2011 年诺奖；
• 数值航程：积分给出年龄 13.8 十亿年、加速始于红移 0.3 上下；红移 1 回望 77 亿年、红移 5 回望 125 亿年；
• 下一站：镜头再往里收——奇点定理与因果结构，看广义相对论如何预言自己数学的边界。