2.5 光线弯折的证词：引力透镜

2.5 光线弯折的证词：引力透镜

本节摘要：光在时空中沿弯折的路径传播，前景质量既偏折光线又放大亮度，偏折量同时依赖质量分布与宇宙几何——引力透镜因此成为唯一同时称量质能总量与检验几何的证词渠道。本节算出星系团的爱因斯坦半径（约一角分）与透镜效率核的峰值位置，并说明强透镜、弱透镜、微透镜三档用法各自证明什么。

四路证词分别盯亮度、照片、结构与尺子，本节这位证人盯的是光的路径。它的独特地位在于双面性：透镜信号由"有多少质能在前面"与"宇宙几何长什么样"共同决定，一次测量同时触及暗能量的两个侧面——这使它成为第六章空间巡天的主打，也是区分两类嫌疑人的关键证词（3.3 节）。

证词机制：偏折角由质能与几何联署

光线经过质量附近会向质量方向偏折，单次偏折角正比于质量、反比于光线到质量中心的垂直距离。宇宙学距离上，前景质量的偏折效果由爱因斯坦半径刻画——天体被拉成环或双像的特征角尺度。它的公式结构值得写出来看：

爱因斯坦半径的平方 = 4G × 前景质量 ÷ 光速平方 × 距离几何因子
距离几何因子 = 前后距离之积比上总距离（角直径距离体系）
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第一个因子是纯力学的（称质量），第二个因子是纯几何的（量宇宙）——暗能量改写第二个因子，暗物质只出现在第一个因子里。这就是透镜证词"一石二鸟"的结构性原因。

# 演算 1：给星系团算爱因斯坦半径
import math
c, H0 = 299792.458, 67.4
Om, OL = 0.315, 0.685
G, Msun, Mpc_m = 6.674e-11, 1.989e30, 3.0856775814913673e22
def chi_Mpc(z):
    n = 4000; dz = z/n
    return sum(1/math.sqrt(Om*(1+(i+0.5)*dz)**3+OL) for i in range(n))*dz*c/H0
def theta_E(M_Msun, zl, zs):                  # 爱因斯坦半径（角秒）
    Dl, Ds = chi_Mpc(zl)/(1+zl), chi_Mpc(zs)/(1+zs)   # 角直径距离
    Dls = Ds - Dl                              # 平坦宇宙
    k = 4*G*M_Msun*Msun/(c*1000)**2/Mpc_m      # 4GM/c² 换算成 Mpc
    return math.degrees(math.sqrt(k*Dls/(Dl*Ds)))*3600
print("千万亿太阳质量的团在 zl=0.3、源在 zs=1.0：θE = %.1f 角秒" % theta_E(1e15, 0.3, 1.0))
print("百万亿太阳质量的团同样配置：        θE = %.1f 角秒" % theta_E(1e14, 0.3, 1.0))
print("千万亿太阳质量的团在 zl=0.5、源在 zs=2.0：θE = %.1f 角秒" % theta_E(1e15, 0.5, 2.0))
# 输出:
# 千万亿太阳质量的团在 zl=0.3、源在 zs=1.0：θE = 61.4 角秒
# 百万亿太阳质量的团同样配置：        θE = 19.4 角秒
# 千万亿太阳质量的团在 zl=0.5、源在 zs=2.0：θE = 40.8 角秒
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一角分量级的环——与哈勃深场里那些著名的黄橙色弧完全同量级。注意第二个读数：质量降十倍，半径只降根号十（约 3.2 倍）；第三个读数则显示几何因子的重要：透镜与源都更远时，同样的质量给出更小的环。质量以平方根进场，几何以平方根进场，两者地位平等——这正是透镜证词能同时审两类嫌疑人的数学表达。

效率核：透镜放前台放后台最有效

不是把前景质量放在哪里都好用。对一个固定的背景源，透镜效率正比于"透镜共动距离乘以剩余距离占比"，这给出一个核函数。

# 演算 2：透镜效率核随透镜红移的分布
import math
c, H0 = 299792.458, 67.4
Om, OL = 0.315, 0.685
def chi_Mpc(z):
    n = 4000; dz = z/n
    return sum(1/math.sqrt(Om*(1+(i+0.5)*dz)**3+OL) for i in range(n))*dz*c/H0
zs = 1.0                     # 背景源红移
print("zl   效率核 W = χl·(χs-χl)/χs （Mpc）")
best = (0, 0)
for zl in [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8]:
    W = chi_Mpc(zl)*(chi_Mpc(zs)-chi_Mpc(zl))/chi_Mpc(zs)
    if W > best[1]: best = (zl, W)
    print("%.1f  %6.0f" % (zl, W))
print("峰值在 zl ≈ %.1f：约为光源共动距离一半处" % best[0])
# 输出:
# zl   效率核 W = χl·(χs-χl)/χs （Mpc）
# 0.1    379
# 0.2    636
# 0.3    787
# 0.4    848
# 0.5    832
# 0.6    752
# 0.7    621
# 0.8    446
# 峰值在 zl ≈ 0.4：约为光源共动距离一半处
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效率核在红移 0.4 附近达到峰值——透镜最好放在源与观测者的中点。这个几何事实决定了弱透镜巡天（6.2 节）的分层战术：红移 0.5 到 1.2 的透镜星系最有发言权，更近的太薄、更远的太远。效率核的精确形状由宇宙几何决定，暗能量改变它——弱透镜层析（按源红移切片）由此成为约束几何的利器。

图 透镜几何：质量称量与几何测量的合奏

三档用法：同一机制的三种证词

强透镜（像被明显拉环或成多像）：单体质量的精密秤。用它称星系团，把"暗物质加普通物质"的总质量称到百分之几——子弹星系团一类"暗物质直接现形"的名场面就是它的功劳；对暗能量，它通过统计环的数目随红移的分布间接约束几何。弱透镜（单像的百万分之一级形变，靠亿万源星系的平均提取）：宇宙网的剪切地图。它是当代暗能量观测的主力——剪切场的相关函数同时编码质能谱与几何，层析分析把它们拆开。微透镜（暂现的增亮）：短期前景天体过境，宇宙学用得少，银河系内找暗物质致密天体全靠它。

三档里弱透镜与暗能量关系最深，也最难做：需要的形变信号是百万分之几，星系形状的内禀随机（每源约 0.3 的椭圆率噪声）必须靠海量源平均压下去，望远镜的点扩散函数还得校准到同样精度——大气扰动是头号敌人，这正是把弱透镜巡天搬上太空的理由（6.2 节的欧几里得与罗马）。

案例：用强透镜环称一个星系团

背景：某红移 0.3 的星系团，背景源在红移 1.0，观测到半径 61 角秒的完整光环。操作：测环的角半径，代入爱因斯坦半径公式反解质量（演算 1 的公式反向使用；几何距离由宇宙学模型给出，红移已知，不确定度很小）。结果：环内投影质量约千万亿太阳质量。解读：与星系速度弥散、X 射线温度两种独立称重对照，三者一致；再减去发光恒星与热气体的质量，剩下约八成是暗物质——透镜证词先给暗物质定了量，同一条公式里的几何因子再被弱透镜层析拿去约束暗能量，一份机制两案通用。变式：若团有多个不同红移的环（"层级环"），可以按环分层称质量，甚至检验投影内的质量剖面形状。

证词归档

• 双面机制：偏折角由质量因子与几何因子联署，质量开根号、几何也开根号
• 数值基准：千万亿太阳质量的团，爱因斯坦半径约一角分（61 角秒）
• 效率核：透镜最佳位置约在源共动距离一半处（源红移 1 时峰值在 0.4）
• 三档用法：强透镜称单体、弱透镜绘宇宙网、微透镜抓过境体
• 实施难点：剪切信号百万分之几，系统误差控制决定成败——空间巡天的动机

五路证词全部到庭。下章进入排查程序：能把这五路口供全部解释通的理论家族，一共有三类，逐一过堂。