2.1 经典弦：作用量与波动方程

本节摘要：弦的作用量由其世界面面积给出（南部–后藤形式），面元不变性允许选用共形规范，把问题化为一维波动方程加上边界条件。弦的解是驻波叠加，每个模式是独立的简正振动；数值实验显示离散化弦的简正频率按 1/N^2 收敛到连续极限。狄利克雷边界条件在此埋下第 6 章 D 膜的伏笔。

第 1 章关掉了准备室，本节是第一实验台的装机步骤：给弦写出运动定律。位置放在知识链的源头——后面所有频谱、量子化、维度条件，都从这一节的作用量推出来。

一、从"面积"出发的作用量

点粒子的作用量正比于世界线的长度，弦的自然推广是正比于世界面的面积：

S_{\text{NG}} = -T \int d\tau\, d\sigma\, \sqrt{-\det h_{ab}}, \qquad h_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu

X^\mu(\tau,\sigma) 是嵌入函数，描述弦上坐标 \sigma 处在时刻 \tau 的时空位置；h_{ab} 是诱导度规；T = 1/(2\pi\alpha') 是弦张力（\alpha' 即雷吉斜率，第 1.2 节的老朋友）。这个作用量有一个深刻的冗余：世界面的参数化 (\tau,\sigma) 本身没有物理意义，换参数不变。面积不变性是弦论第一个"免费的对称性"。

推导骨架如下，保持每步可查：


步骤 1：面元不变性允许选取共形规范，使诱导度规正比于单位度规：
        h_ab = e^{φ} η_ab，面积与 φ 无关，可设 φ = 0
步骤 2：代入作用量，根号下的行列式变为常数，S = -T/2 ∫ d²σ ∂a X^μ ∂^a X_μ
步骤 3：对 X^μ 变分，欧拉—拉格朗日方程化为波动方程：
        (∂τ² - ∂σ²) X^μ = 0
步骤 4：通解为左行波与右行波之和 X^μ = X_L^μ(τ+σ) + X_R^μ(τ-σ)
        ——这对分解是第 4 章杂化弦与第 6 章 T 对偶的通用语言

顺带一个干净的小结论：把一根弦拉开长度 L，它的能量是 E = T L。弦的能量与长度成正比，这是"弦有张力、想缩成一团"的精确表述，也是弦与点粒子最本质的动力学差异。

二、边界条件的两条岔路

波动方程在有限区间上求解需要边界条件，弦给出两条岔路：

诺伊曼条件：端点自由，\partial_\sigma X^\mu |_{\text{端点}} = 0。端点以光速运动、不受力，是传统开弦的选择；
狄利克雷条件：端点被钉住，X^\mu |_{\text{端点}} = \text{常数}。端点固定在时空的某个超曲面上。

上世纪八十年代教科书把狄利克雷条件当数学摆设，九十年代才发现那些"钉住端点的超曲面"是有质量、带荷的动力学客体——D 膜。这个伏笔在第 6.1 节兑现，此处先登记在案。

图弦的简正模式：基音与泛音

三、数值实验：离散弦的简正模

把弦离散成 N+2 个质点（两端固定），相邻以弹簧连接，就是一根"珠链弦"。其本征频率有闭式解，与连续弦的 n\pi/L 对比，可观察收敛速度。


import math

# 珠链弦：N 个自由质点，两端固定，晶格间距取 1
# 本征频率 omega_n = 2 sin(n pi / (2(N+1)))，连续极限 omega_n -> n pi/(N+1)
for N in [10, 50, 200]:
    errs = []
    for n in [1, 2, 3]:
        wd = 2 * math.sin(n * math.pi / (2 * (N + 1)))
        wc = n * math.pi / (N + 1)
        errs.append(abs(wd - wc) / wc * 100)
    print("N=%3d: 模式1-3相对误差%% = %.4f %.4f %.4f" % (N, *errs))

运行结果：


N= 10: 模式1-3相对误差% = 0.3395 1.3539 3.0308
N= 50: 模式1-3相对误差% = 0.0158 0.0632 0.1422
N=200: 模式1-3相对误差% = 0.0010 0.0041 0.0092

两个观察。第一，误差随 N 从 10 到 200 缩小约 300 倍，符合理论预期的 1/N^2 标度；模式数 n 越高误差越大，因为高模式波长接近晶格间距。第二，这说明"连续弦"是离散模型的良定义极限——量子化时我们将反过来利用这一点：把场 X^\mu(\sigma) 展开成无穷多个模式，每个模式一个振子。

四、模式展开：装机的最后一步

通解按简正模展开：

X^\mu(\tau,\sigma) = x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau + i\sqrt{\tfrac{\alpha'}{2}} \sum_{n\neq 0} \frac{1}{n}\left( \alpha_n^\mu e^{-in\tau}\cos n\sigma + \tilde\alpha_n^\mu e^{-in\tau}\cos n\sigma \right)

前三项是质心运动（位置与动量），求和部分是振动：系数 \alpha_n^\mu 就是第 n 个模式的复振幅。质心跳舞与弦的振动在这个表达式里干净地分离——下一节对每个模式做量子化时，\alpha_n^\mu 将升级为升降算符，质量公式将从"总振动能"里读出。

💡 装机检查单：面元不变性（规范冗余）→ 共形规范（方程化简）→ 波动方程（左行加右行）→ 边界条件（诺伊曼或狄利克雷）→ 模式展开（谐振子梯队）。这条流水线上任何一步出问题，后面的频谱都不可信。

本节要点回顾

作用量：南部–后藤形式正比于世界面面积，参数化不变性是第一份免费对称性；
规范选取：共形规范下弦满足普通波动方程，通解分解为左行与右行波；
能量关系：拉直的弦带能量 E = TL，张力是弦的唯一内禀参数（等价于 \alpha'）；
边界分岔：诺伊曼端点自由，狄利克雷端点被钉住——后者是 D 膜的伏笔；
数值验证：珠链弦本征频率以 1/N^2 收敛到连续弦，模式展开因此可靠。

机器装好了，下一节通电：把每个模式量子化，看看零点能这份"空转能耗"如何改变频谱。

延伸核对：可考核知识点

Polyakov 作用量 S=−T/2∫d²σ√(−h)h^{ab}∂_aX∂_bX 对世界面度规 h 的变分给出 T_ab=0，这是共形规范固定后残余的约束方程，保证两个世界面坐标都可以消去。
波动方程 ∂²X=0 的通解 X=X_L(τ+σ)+X_R(τ−σ)：闭弦左右行波独立展开，开弦两者锁定为同一组模式。
边界条件：开弦诺伊曼 ∂_σX=0（自由端点，动量流为零）或狄利克雷 δX=0（端点固定在膜上）；闭弦周期条件 X(τ,σ+2π)=X(τ,σ)。
自由度计数：世界面度规 3 个分量被二维微分同胚与 Weyl 变换约掉，残余共形因子被约束消去——二维引力没有传播自由度，这是弦论可精确求解的关键。
数值实验衔接：离散弦简正模取 N 个模截断后收敛到连续解，收敛阶随模数提高，验证谱不依赖截断方式。

易错点：诺伊曼条件是法向导数为零，不是"端点速度为零"——开弦端点沿膜方向可以任意运动，垂直方向才被钉死；共形规范并非把度规完全固定，残余约束 T_ab=0 必须逐态执行。

作者与出处

原作者：灏天文库

来源：灏天文库

整理：灏天文库整理

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