3.3 GSO 投影与时空超对称
3.3 GSO 投影与时空超对称
本节摘要：GSO 投影按费米数宇称筛选态：NS 区保留奇宇称（快子被删），R 区固定一种手征。投影后 NS 与 R 两区的简并度逐级严格相等——8、128、1152、7680、42112、200448——本节用态的暴力枚举复算这张配平表，它是时空超对称最直接的频谱证据，也是第 4 章五种超弦理论的构造基石。
本章前两节备好了机器与两张谱表，本节做最后的手术并验收。这一节在全册的位置是"超弦"正式诞生的时刻：投影之后，快子消失、谱线配平、时空有了超级荷，第 4 章的五件标本才有资格出厂。
一、投影规则
GSO 三人组的投影是一组宇称筛选规则，表述出奇地短：
NS 区：保留费米数宇称为奇的态 基态（费米数 0，偶）被删 —— 快子出局 首激发（单个 r=1/2 模式，奇）保留 —— 无质量矢量就位 R 区：固定真空的手征（8s 或 8c 二选一） 十维旋量的两种手征留下一种 —— 空间时间的手征性质由此决定 闭弦：左右两侧各做一次，组合方式的不同给出 IIA 与 IIB（第 4 章）
快子的删除逻辑现在完全透明：它费米数为零、宇称为偶，恰在投影的删除档。这不是硬塞的补丁——投影本身是世界面费米数对称性的规范固定，删它有对称性撑腰。
二、数值主秀：投影后的配平谱
十维光锥规范下，横向振子 8 色（玻色 \alpha^i 与费米 \psi^r_i 各 8）。NS 区费米模式为半整数、R 区为整数。暴力枚举所有态的激发组合，按宇称筛选后逐级计数。
from math import comb D = 8 # 横向方向数 def fermion_levels(half, Nmax): # 枚举费米模式占据组：返回 (模式和, 费米个数, 方式数) modes = [] n = 1 while True: r = (n - 0.5) if half else n if r > Nmax: break modes.append(r) n += 1 out, stack = [], [(0, 0.0, 0, 1)] while stack: i, total, ferm, ways = stack.pop() out.append((total, ferm, ways)) for j in range(i, len(modes)): for k in range(1, D + 1): nt = total + k * modes[j] if nt > Nmax: break stack.append((j + 1, nt, ferm + k, ways * comb(D, k))) return out def boson_coeffs(Nmax): c = [1] + [0] * Nmax for n in range(1, Nmax + 1): for _ in range(D): new = c[:] for i in range(Nmax - n + 1): for j in range(n, Nmax - i + 1, n): new[i + j] += c[i] c = new return c Nmax = 6 bos = boson_coeffs(Nmax) ns_deg, r_deg = {}, {} for fs, ferm, ways in fermion_levels(True, Nmax): if ferm % 2 == 0: # NS 区 GSO：只留奇宇称 continue for b in range(int(Nmax - fs) + 1): ns_deg[fs + b] = ns_deg.get(fs + b, 0) + ways * bos[b] for fs, ferm, ways in fermion_levels(False, Nmax): for b in range(int(Nmax - fs) + 1): # R 区：单手征真空 8 态，全塔保留 r_deg[fs + b] = r_deg.get(fs + b, 0) + ways * bos[b] * 8 print("alpha'M^2 | NS区(N-1/2) | R区(N)") for m in range(6): print(" %d | %6d | %6d" % ( m, ns_deg.get(m + 0.5, 0), r_deg.get(float(m), 0)))
运行结果：
alpha'M^2 | NS区(N-1/2) | R区(N) 0 | 8 | 8 1 | 128 | 128 2 | 1152 | 1152 3 | 7680 | 7680 4 | 42112 | 42112 5 | 200448 | 200448
两列数字逐级相等，一级不差。这正是 3.1 节配对代数的兑现：玻色行与费米行简并度相同，就是时空超对称在频谱上的全部含义。无质量级的 8+8 也与 3.1 节的预告吻合：8 个玻色自由度（十维无质量矢量的极化）加 8 个费米自由度（它的超伙伴），一个完整的矢量超多重态。
顺带一个有趣的对比：玻色弦同位置的简并度是 24、324、3200（第 2.3 节），超弦是 8、128、1152——配平机制不仅删掉了快子行，还重排了整张表。
图 GSO 投影前后：快子出局、谱线配平
三、配平背后的恒等式
逐级相等不是偶然，它在解析层面由雅可比的"深奥恒等式"（abstruse identity）担保：
左边是 NS 区奇宇称部分的生成函数（差一半消掉偶宇称），右边是 R 区单手征塔。十九世纪纯数学的 θ 函数恒等式，在一百多年后精确锁死了超弦频谱的配平——数学与物理的这种"先于应用的存在"，是弦论最令人不安也最迷人的特质（第 8.3 节会再遇到几次）。
四、投影的副作用：手征性
R 区手征的选择（8s 或 8c）决定了理论的时空手征性质。开弦统一选一种即可；闭弦左右各有选择，组合出第 4 章的两个型号：左右同手征给 IIB（手征理论），左右反手征给 IIA（非手征理论）。手征性不是装饰——标准模型的弱相互作用就是手征的，一个不手征的理论原则上装不下真实的粒子物理（第 7.4 节的入场券问题）。
⚠️ 排错提示：自己复算这张表时最常见的两个坑——忘了玻色振子每个模式可以重复激发（费米不行），或忘了 R 区真空自带 8 重简并。前者会让 NS 列在第二级少一半，后者会让 R 列整体差个因子 8。
本节要点回顾
- 投影规则：NS 留奇宇称（快子出局），R 定单手征；闭弦左右各投一次，决定 IIA 与 IIB；
- 配平证据：投影后两区简并度逐级相等：8、128、1152、7680、42112、200448；
- 无质量级：8+8 恰是十维矢量超多重态的自由度表；
- 解析担保：雅可比深奥恒等式在生成函数层面锁死配平；
- 手征遗产：投影的手征选择直通第 4 章的型号分化与第 7 章的手征物理。
升级完成，频谱仪出厂。第 4 章清点在 10 维自洽的全部装配方案——五件标本，逐一登记。