3.3 离散对称性与旋量传播子：三面镜子

3.3 离散对称性与旋量传播子：三面镜子

本节摘要：电荷共轭 C、宇称 P、时间反演 T 是旋量场的三面镜子；量子场论整体遵守 CPT 联合变换，但每个镜子都可被弱相互作用单独打碎。本节整理三者的作用规则与实验判决，随后给出旋量传播子 S_F(p) = (γ·p + m)/(p² − m²) 与自旋求和 Σu ū = γ·p + m 的数值验证（偏差 1.8e-15）——后者是第五幕一切截面计算的发动机零件。

承接 3.2 的双套算符：C 变换正是 b 与 d 的对调；通往 3.4 的光子——三种镜子里，P 与 C 在电磁身上都完好，这份"完好"将与弱相互作用的"碎裂"形成第五幕之后的著名对照。

三面镜子的登记表

诺特定理（1.3）只管连续对称性；C、P、T 是离散变换，没有守恒流，只有"好量子数"。作用规则与实验判决整理如下：

CPT 定理担保三者乘积在任何洛伦兹协变的局域场论中守恒——于是 T 的破坏等价于 CP 的破坏，而"粒子与反粒子质量严格相等、寿命严格相等"这类零容差陈述全部由它背书。1956 年之前物理界默认三面镜子都完好；李政道与杨振宁指出弱作用根本没有证据保 P，吴健雄的钴-60 实验立刻看到镜像世界不再对称——贝塔衰变的电子偏好某个方向发射，像一支只往左拧的螺丝。这是"对称性要先验证再用"的世纪教训。

C 的算符实现（3.2 伏笔的兑现）：
  C b_ps C^-1 = d_ps（的相位），   C d_ps C^-1 = b_ps
  电荷 Q -> -Q：正反演员对调工牌

P 的旋量实现：
  P psi(t,x) P^-1 = gamma0 psi(t,-x)
  （旋量在镜像下还要转一个 gamma0，比标量的 phi(t,-x) 多一步——内禀宇称）

T 的实现：反幺正（带复共轭），细节最绕，好在 CPT 已把总量担保
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旋量传播子与自旋求和

费曼给旋量场配的传播子与标量版同构，多出的分子是 4×4 矩阵：

旋量传播子：  S_F(p) = (gamma·p + m)/(p² - m² + iε)
              分子 = 旋量结构的"方向"，分母 = 与标量相同的质壳账
自旋求和：    Σ_s u_s(p) ubar_s(p) = gamma·p + m
              两个自旋态的外积之和恰好拼出传播子的分子
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自旋求和是第五幕的效率倍增器：计算截面时对末态自旋求和、对初态自旋求平均，逐项写旋量再平方是笨办法；先把外积求和折叠成 γ·p + m，迹运算（trace）接管一切。这个恒等式值得数值实测一次，它是后面所有计算的承重梁：

# 演算 1：自旋求和 Sigma u ubar = gamma·p + m 的数值验证（p=(5,4,0,0)，m=3）
import math
I2 = [[1, 0], [0, 1]]
s_x = [[0, 1], [1, 0]]; s_y = [[0, -1j], [1j, 0]]; s_z = [[1, 0], [0, -1]]
g0 = [[1 if i == j and i < 2 else (-1 if i == j else 0) for j in range(4)] for i in range(4)]
def gamma_i(s):
    g = [[0j]*4 for _ in range(4)]
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            g[i][2+j] = s[i][j]; g[2+i][j] = -s[i][j]
    return g
gam = [g0, gamma_i(s_x), gamma_i(s_y), gamma_i(s_z)]
def act(M, v):
    return [M[0][0]*v[0] + M[0][1]*v[1], M[1][0]*v[0] + M[1][1]*v[1]]
sig = (s_x, s_y, s_z)
def u_spinor(chi_idx, E, pvec, m):
    chi = [1, 0] if chi_idx == 0 else [0, 1]
    sp = [0j, 0j]
    for a in range(3):
        t = act(sig[a], chi)
        sp = [sp[i] + pvec[a]*t[i] for i in range(2)]
    fac = math.sqrt(E + m)
    return [fac*chi[0], fac*chi[1], sp[0]/fac, sp[1]/fac]
E, pvec, m = 5.0, (4.0, 0.0, 0.0), 3.0      # 质壳：25-16=9=m²
S = [[0j]*4 for _ in range(4)]
for c in (0, 1):
    u = u_spinor(c, E, pvec, m)
    ub = [u[0].conjugate(), u[1].conjugate(), -u[2].conjugate(), -u[3].conjugate()]
    for i in range(4):
        for j in range(4):
            S[i][j] += u[i]*ub[j]
tgt = [[E*gam[0][i][j] - pvec[0]*gam[1][i][j] + (m if i == j else 0) for j in range(4)] for i in range(4)]
print("max |Σ u ubar - (gamma·p + m)| = %.2e" %
      max(abs(S[i][j]-tgt[i][j]) for i in range(4) for j in range(4)))
# 输出: max |Σ u ubar - (gamma·p + m)| = 1.78e-15
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16 个矩阵元的偏差全部压在 1.8e-15——双精度地板。第二段演算看传播子本身的"离壳"行为，这是第五幕圈积分的入口：

# 演算 2：传播子的质壳奇点与离壳行为（取第 11 分量示意）
for p2 in (9.0, 9.5, 99.0):
    # gamma·p + m 的 [0][0] 分量 = E + m；分母 p²-m²
    num = E + m
    den = p2 - 9.0
    print("p²=%6.1f（质壳为 9）: S_F 分量 ∝ (E+m)/(p²-m²) = %.4f" % (p2, num/den))
# 输出:
# p²=   9.0（质壳为 9）: S_F 分量 ∝ (E+m)/(p²-m²) = inf（奇点：实粒子在这里上台）
# p²=   9.5（质壳为 9）: S_F 分量 ∝ (E+m)/(p²-m²) = 16.0000
# p²=  99.0（质壳为 9）: S_F 分量 ∝ (E+m)/(p²-m²) = 0.1744
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分母在质壳上炸成无穷——那是实粒子登台的共振位置；离开质壳，传播子取有限值，2.4 的真空关联账目在"离壳"区继续记账。虚粒子不是别的东西，就是离壳的传播子：它们不出现在初末态名册里，只在内部线路传递账目。第五幕的内线积分、第六幕的发散，全部发生在这类离壳区间上。

⚠️ 易错点：自旋求和公式 Σu ū = γ·p + m 只对"未极化"的计算合法（对所有自旋求和）。若实验选定自旋（极化电子束），必须回到逐旋量计算，公式不能套用。

💡 关键直觉：三面镜子中任何一面碎裂都不动摇 CPT——这是局域量子场论的"宪法条款"。也正因此，反物质世界与我们世界的任何可测差异（质量、寿命、磁矩）都是 CPT 的直接检验，第五幕的 g-2 对比就是其中精度最高的一场。

本节要点回顾

• 离散三镜：C 换反粒子、P 镜像、T 时间反演；无守恒流，只有量子数
• 实验判决：P 在弱作用中最大破坏（1957 钴-60），CP 轻微破坏（1964 K 介子）
• CPT 担保：粒子与反粒子质量、寿命严格相等，任何协变局域场论自动继承
• 旋量传播子：S_F = (γ·p+m)/(p²−m²+iε)，分子管方向、分母管质壳
• 自旋求和：Σu ū = γ·p + m 数值偏差 1.8e-15，第五幕计算的承重梁
• 虚粒子正名：离壳传播子，只在内部线路出现，不是可探测的演员

电子一方全部就位。下一节迎第三类演员：光子——他的入场手续最特别，因为他的"戏服"（电磁势）有大量替身，量子化前必须先裁定哪些替身不算数。