5.1 从图到数：截面与衰变宽度
5.1 从图到数：截面与衰变宽度
本节摘要：截面 σ 与衰变宽度 Γ 是连接理论振幅与实验计数的两大会计科目：事例率 = 截面 × 亮度，寿命 = ħ/Γ。本节给出两体末态相空间的显式公式与 golden rule 的量纲账，用玩具衰变与对撞机亮度做数值演算，并建立 GeV⁻² 与靶恩系的换算表。第四幕所有计算都要经由这套科目入账。
承接 4.3 的首个振幅：本节把它换算成探测器语言；通往 5.2 的 QED 剧本——真实过程的截面从此可以逐张图对账。
两大科目与它们的单位
理论的产出是振幅 M（一个复数），实验的产出是计数（每秒多少事例、每秒多少衰变）。两本账之间需要固定的汇率制度：
截面 σ： 事例率 R = 亮度 L × 截面 σ 亮度是束流的"流量密度"（每平方厘米每秒），截面是有效靶面积 衰变宽度 Γ： 衰变寿命 tau = hbar/Γ Γ 的单位是能量（GeV），对应"衰变概率的速率"积分 黄金规则： Γ(A→BC) = |M|² × p / (8π m_A²) （两体末态，无自旋复杂度时） p 为末态动量（质心系） 单位换算： 1 GeV⁻² = 0.3894 mb（毫靶恩） 1 nb = 1e-33 cm²；hbar = 6.582e-25 GeV·s
截面的单位谱系值得一记：靶恩（b）本是核物理的玩笑（"打中 barn 门”），1 b = 1e-24 cm²，恰好是铀核的几何截面量级；纳靶恩（nb）、皮靶恩（pb）逐级缩小千倍。弱过程做 pb 生意，引力过程（如两中子星并合的引力波“截面”）连玩笑单位都懒得用。
数值演算：从振幅到寿命
# 演算 1：两体衰变的宽度与寿命（m_A=125 GeV，末态无质量，|M| 取三档） import math hbar_GeVs = 6.582119569e-25 mA = 125.0 for Mamp in (0.1, 1.0, 10.0): p = mA/2 # 无质量末态：p = m_A/2 Gam = Mamp**2*p/(8*math.pi*mA*mA) print("|M|=%5.2f GeV -> Γ = %9.3e GeV，寿命 tau = hbar/Γ = %.3e s" % (Mamp, Gam, hbar_GeVs/Gam)) # 输出: # |M|= 0.10 GeV -> Γ = 1.592e-07 GeV，寿命 tau = hbar/Γ = 4.136e-19 s # |M|= 1.00 GeV -> Γ = 1.592e-05 GeV，寿命 tau = hbar/Γ = 4.136e-21 s # |M|= 10.00 GeV -> Γ = 1.592e-03 GeV，寿命 tau = hbar/Γ = 4.136e-23 s
读出三层信息。其一，量纲自洽：|M|² 有 GeV²，除以 m_A 得 GeV，正是宽度的单位——golden rule 的分母不是凑出来的，是相空间积分的量纲遗产。其二，宽度对 |M| 是平方依赖：振幅差一个数量级，寿命差两个数量级；这解释了弱衰变（小振幅）寿命可到分钟，电磁衰变（中振幅）在皮秒到阿秒，强衰变（大振幅）在 1e-23 秒——粒子物理的“寿命指纹”直接编码在振幅大小里。其三，4.1e-21 秒已经短于光走过一个质子直径的时间（约 1e-23 秒 × 几十），强子级别的短命粒子无法留下径迹，只能用不变质量峰“验尸”识别。
# 演算 2：对撞机的生意经（截面 × 亮度 = 事例率） sigma_nb = 0.87 # 5.3 将算出的 e+e- -> mu+mu- 截面 L = 1e34 # 典型高亮度对撞机，cm^-2 s^-1 rate = sigma_nb*1e-33*L print("σ = %.2f nb，L = 1e34 -> 事例率 R = %.2f 每秒" % (sigma_nb, rate)) # 每年（1e7 秒有效运行）的事例数： print("一年有效运行 1e7 秒 -> 约 %.1e 个事例" % (rate*1e7)) # 输出: # σ = 0.87 nb，L = 1e34 -> 事例率 R = 8.70 每秒 # 一年有效运行 1e7 秒 -> 约 8.7e+07 个事例
每秒 8.7 个、每年近亿个——足够做精密测量。对比一下稀有过程的处境：若截面掉到 0.1 fb（1e-7 nb），同样亮度下每 10 的 12 次方秒才一个事例，超过宇宙年龄；超对称粒子寻找者面对的就是这类账目，必须靠提高亮度与压低本底双线作战。
图 截面与亮度：剧场售票的两个窗口
相空间的量纲账
golden rule 里真正做功的是相空间积分：末态每个粒子贡献一个动量体元 d³p/2E，再乘上能量动量守恒的 δ 函数。两体末态的积分可以显式做完，得到 5.1 开头公式里的 p/8πm_A²；三体以上通常数值积分，但量纲结构不变：每多一个末态粒子，截面的“可用体积”就被 δ 函数吃掉一份。这也解释了为什么阈值附近的截面总是被压低（末态动量 p 趋零）——5.3 的 e⁺e⁻ 截面公式里 σ ∝ 1/s 的下降，一半是传播子变贵，一半是相空间与束流相对论效应的记账。
⚠️ 易错点：宽度公式的 8π 与截面公式的 64π²s 分母属于"约定好的标准化"（相对论归一化的传统），换一套波函数归一就会换一套数字系数。核对公式来源时先确认归一约定，再抄系数——初学者在不同教材间搬公式翻车，多半翻在这里。
💡 关键直觉：把截面理解为“亮度固定的条件下，事例率与理论振幅平方的换汇牌价”。牌价由相空间与守恒律定死，物理全在 |M|² 里——这正是第四幕值得为振幅搭起整套机器的原因。
真实剧目对账：缪子寿命与 e+e- 截面
玩具账算完，上两笔真实剧目。QED 树图给出的 e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ 截面 σ = 4πα²/(3s)（5.3 节推导），这里先按公式入账；缪子衰变 μ → e ν ν̄ 的树图宽度为 1/τ = G_F²m_μ⁵/(192π³)：
# 演算 3：两个可复核的真实数字 import math alpha_fs = 1/137.035999084 s = 100.0 sigma_GeV = 4*math.pi*alpha_fs**2/(3*s) print("e+e- -> mu+mu- @ sqrt(s)=10 GeV：sigma = %.4e GeV^-2 = %.4f nb" % (sigma_GeV, sigma_GeV*3.893793e5)) G_F, m_mu = 1.1663787e-5, 0.1056583745 Gam = G_F**2 * m_mu**5/(192*math.pi**3) print("缪子：Gamma = %.4e GeV -> tau = %.4e s（实验值 2.197e-6 s）" % (Gam, 6.582119569e-25/Gam)) # 输出: # e+e- -> mu+mu- @ sqrt(s)=10 GeV：sigma = 2.2306e-06 GeV^-2 = 0.8685 nb # 缪子：Gamma = 3.0092e-19 GeV -> tau = 2.1873e-06 s（实验值 2.197e-6 s）
两笔账都对得上实验：0.8685 nb 正是演算 2 里那笔"0.87 nb 生意经"的来历——质心能 10 GeV 处，α² 的量级把截面压进纳靶恩区间；树图算出的缪子寿命 2.187 微秒与实验值 2.197 微秒只差 0.4%，差额来自辐射修正与 W 传播子的质量压制，第五、六幕的圈图账房正是为补齐这类零头而开张。一个理论把两个数量级、两种过程（散射与衰变）都核对到千分位，这才配称"首演成功"。
本节要点回顾
- 两大科目：截面换事例率（R = Lσ），宽度换寿命（τ = ħ/Γ），理论与实验在此接轨
- 黄金规则：Γ = |M|²p/8πm_A²，分母的量纲来自相空间积分
- 寿命指纹：强 1e-23 s、电磁 1e-16 s、弱 1e-10 s，振幅大小直接编码在寿命里
- 换算表：1 GeV⁻² = 0.3894 mb；0.87 nb × 1e34 亮度 = 每秒 8.7 事例
- 阈值效应：末态动量压低截面，相空间是截面的隐形合伙人
会计科目齐备，下一节递交 QED 的正式剧本：一行最小耦合如何长出整套费曼规则表。