5.3 树图剧目排演：湮灭、散射与卢瑟福后代

5.3 树图剧目排演：湮灭、散射与卢瑟福后代

本节摘要：本节用 QED 规则表完整排演三大树图剧目：正负电子对湮灭成 μ 子对（截面 4πα²/3s，10 GeV 处 0.8685 纳靶恩，角分布 1+cos²θ）、康普顿散射（光子被电子重新发射）、以及卢瑟福公式的场论出身（小角 1/sin⁴ 发散，30 度角截面是 90 度的 55.7 倍）。粒子生灭从 1.1 节的"无法记谱"变成可精确预言的标准业务。

承接 5.2 的规则表：本节是它的首次全负荷运转；通往 5.4 的圈图——树图的成功越辉煌，圈图的修正越有资格宣告"这是同一个理论的更深一层"。

招牌戏：正负电子对湮灭

过程 e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻：电子与正电子对撞，湮灭成一个虚光子，虚光子再物化成 μ 子对。1.1 节的三处穿帮之首——"粒子凭空换出来"——在这里被彻底驯化：湮灭与产生是传播子的两件常规业务。树图只有一张（s 道虚光子），振幅干净：

iM = ubar(e-) (-ie gamma^mu) v(e+) × (-i g_mn / s) × ubar(mu+) (ie gamma^n)?（符号按规则表）
平方、对自旋求平均求和、做 gamma 矩阵的迹运算：
  |M|²平均 = e⁴ [1 + cos²(theta)]     （质量忽略极限）

微分截面：  dσ/dΩ = alpha²/(4s) (1 + cos²theta)
积分：      σ = 4π alpha²/(3 s)
​

迹运算是 3.3 自旋求和的批量处理版：把旋量外积全部折叠成 γ 矩阵的求和恒等式，再按 traces 公式表逐项化简。数值对表：

# 演算 1：湮灭截面的能量标度与角分布
import math
alpha = 1/137.035999084
for sqrs in (10.0, 91.1876):
    s = sqrs**2
    sig = 4*math.pi*alpha**2/(3*s)
    print("√s = %7.3f GeV -> σ = %.4e GeV^-2 = %.4f nb (%.2f pb)"
          % (sqrs, sig, sig*3.894e5, sig*3.894e8))
# 角分布：dσ/dΩ ∝ 1 + cos²θ
N = 10000; dall = 0.0; dcs = 0.0
for i in range(N):
    c = -1 + (2*i+1)/N
    f = 1 + c*c
    dall += f*(2/N)
    if 0.6 <= c <= 1.0:
        dcs += f*(2/N)
print("前向区 cosθ∈[0.6,1] 的事例占比 = %.4f（均匀分布应为 0.2000）" % (dcs/dall))
# 输出:
# √s = 10.000 GeV -> σ = 2.2306e-06 GeV^-2 = 0.8685 nb (868.54 pb)
# √s = 91.1876 GeV -> σ = 2.6825e-08 GeV^-2 = 0.0104 nb (10.45 pb)
# 前向区 cosθ∈[0.6,1] 的事例占比 = 0.2480（均匀分布应为 0.2000）
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两条读数。第一，σ ∝ 1/s：能量涨九倍（10 到 91 GeV），截面跌八十三倍（0.87 nb 到 10.45 pb）——虚光子传播子 1/s 变贵是主因。真实世界在 91 GeV 附近远比这热闹，因为 Z 玻色子共振加入演出（终幕 7.5 的电弱剧本），树图 QED 只是它的"背景底账"。第二，角分布 1+cos²θ 把 24.8% 的事例推向前向 20% 的立体角——自旋 1 的标志性签名；历史上正负电子对撞机的亮度校准就靠这个过程的角分布形状。

图 三大树图剧目的分镜板

康普顿与卢瑟福：两张老戏票

康普顿散射 γe → γe：光子打进电子、再被打出来，波长随散射角增大（康普顿 1923 年以此给光的粒子性一锤定音）。树图有两张（s 道与 u 道，电子内线），振幅是两者的相干和——单光子过程里两图的干涉不可回避，正是 5.2 强调"相位要配套"的原因。衍生的康普顿边缘公式（散射光子能量随角度的移动）至今是伽马射线谱学的日常工具。

电子的卢瑟福后代 eμ → eμ：t 道虚光子交换，微分截面 ∝ α²/q⁴（q 为动量转移）。把 1/q⁴ 在小角展开就是 1/sin⁴(θ/2)——1911 年卢瑟福用 α 粒子轰金箔看到的同款角分布，其场论本质是"交换一个无质量玻色子"。数值感受它的陡峭：

# 演算 2：卢瑟福角分布的陡峭程度
import math
def ruther(theta_deg):
    th = math.radians(theta_deg)
    return 1/math.sin(th/2)**4
r5, r30, r90 = ruther(5), ruther(30), ruther(90)
print("σ(30°)/σ(90°) = %.1f 倍" % (r30/r90))
print("σ(5°)/σ(90°)  = %.1e 倍" % (r5/r90))
# 输出:
# σ(30°)/σ(90°) = 55.7 倍
# σ(5°)/σ(90°)  = 6.9e+04 倍
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小角发散是长程力的指纹（无质量光子让 1/q² 传播子在小转移处爆表），实验上靠最小截断角处理。这个"红外麻烦"是 5.4 末尾红外发散议题的树图先声：无质量粒子总是让无穷软的构型贡献激增，好在可观测的类量（总截面配合软光子发射）保持有限。

⚠️ 易错点：湮灭截面的 4πα²/3s 只在质量忽略极限成立；接近阈值（√s ≈ 2m_μ）时末态速度压低截面（5.1 的相空间效应），β 因子必须补回。阈值附近套用高能公式会高估截面。

💡 关键直觉：三大剧目分别对应 s 道（湮灭）、s+u 干涉（康普顿）、t 道（散射）——QED 树图的全部戏路就是这三条通道的排列组合。终幕把 Z、W 加进来后，同一套通道结构直接复用，只是传播子与顶点换行头。

本节要点回顾

• 招牌戏：e⁺e⁻→μ⁺μ⁻ 截面 4πα²/3s，10 GeV 处 0.8685 nb，91 GeV 处 10.45 pb
• 角分布：1+cos²θ 是自旋 1 的签名，前向 20% 立体角吃下 24.8% 事例
• 康普顿：s 道与 u 道干涉，单光子过程的相位纪律教材
• 卢瑟福后代：t 道 1/q⁴ 小角发散，30 度对 90 度 55.7 倍，无质量长程力的指纹
• 通道语法：s/t/u 三条通道是树图的全部戏路，重剧本直接复用

树图把 QED 的账做平。下一节往图里加圈：虚粒子的内循环将把电子磁矩从整数 2 抬到 2.0023…，也会第一次把"无穷大"推到台前。