7.1 路径积分：另一种排演方式

7.1 路径积分：另一种排演方式

本节摘要：路径积分把量子振幅写成对全部场构型的加权和，权重为 e^{iS}；生成泛函 Z[J] 对源 J 求导即得任意关联函数，自由理论的高斯积分一举给出全部费曼规则。本节用 0 维高斯的 Metropolis 蒙特卡洛（⟨x²⟩ = 0.7168 对精确 1/2a = 0.7143）与一维 KG 格点的传播子矩阵求逆完成数值双轨对账，并为 7.6 的格点方法铺轨。

承接前六幕的正则量子化：路径积分给出等价而更"民主"的记账法；通往 7.2 的规范思想——路径积分里的规范冗余将引出全册最重要的观念升级。

换一种记账：所有构型都有发言权

正则量子化把注意力放在算符与对易关系上；费曼 1948 年的路径积分换了一个提问方式：从初态到末态，每种可能的场构型都贡献一份相位 e^{iS}，振幅是全部构型的和：

转移振幅 = ∫ D[phi] e^{i S[phi]}        （对所有可能的场历史求和）
生成泛函：Z[J] = ∫ D[phi] exp{i ∫ (L + J·phi)}     （J 为探测源）
关联函数 = 对 Z[J] 求 n 次导后取 J->0：
  ⟨0|T phi(x1)...phi(xn)|0⟩ = (1/Z[0]) · (1/i)^n · d^n Z/dJ(x1)...dJ(xn)

自由理论（L 是 phi 的二次型）：积分是高斯的，可以显式算完：
  Z[J] = Z[0] · exp{-1/2 ∫∫ J(x) Delta_F(x-y) J(y)}
  一行就吐出威克定理的全部内容（4.2 的理账术在这里是免费的）
​

与正则法的等价性可以在每个环节核对：两点函数对源求两次导恰好给出 2.5 的传播子；相互作用的展开（把 e^{iS_int} 按耦合常数展开）恰好重现戴森级数与费曼规则。路径积分的优势在两处：规范理论（7.2、7.3）与统计力学的类比（把时间转到虚数，e^{iS} 变成 e^{−S}，量子场论与经典统计系综成为同一个数学对象——7.6 的格点方法全靠这一点）。

0 维预演：蒙特卡洛实测

先把自由度压缩到一个（0 维场论即普通积分），用 Metropolis 采样实测"路径积分＝系综平均"：

# 演算 1：0 维高斯路径积分的 Metropolis 实测（S(x) = a·x²/2）
import math, random
random.seed(42)
a = 0.7
x = 0.0
n = 200000
acc = 0
ssum = 0.0
for i in range(n):
    xp = x + random.uniform(-1, 1)          # 提议：随机走一步
    dS = a*(xp*xp - x*x)                    # 作用量变化
    if dS <= 0 or random.random() < math.exp(-dS):
        x = xp; acc += 1                    # 接受规则：变低必收，变高按概率收
    ssum += x*x
print("⟨x²⟩ = %.5f   精确值 1/(2a) = %.5f   接受率 = %.1f%%" % (ssum/n, 1/(2*a), 100*acc/n))
# 输出:
# ⟨x²⟩ = 0.71680   精确值 1/(2a) = 0.71429   接受率 = 76.9%
​

采样二十万步，⟨x²⟩ 与精确值差 0.35%——蒙特卡洛把"对所有构型求和"变成"按权重随机抽样"，这正是格点 QCD 处理四维时空的全部原理（7.6 展开）。接受规则的逻辑值得看一眼：作用量降低的提议必收，升高的按 e^{−ΔS} 概率收——最终样本分布收敛到 e^{−S}，即路径积分在虚数时间的权重。

一维格点：传播子作为矩阵求逆

把 KG 场放到一维圆环格点上（N 个点、周期边界），作用量离散化为二次型，路径积分的高斯公式说：两点函数 = 动力学矩阵的逆。纯手写高斯消元求逆：

# 演算 2：一维 KG 格点的传播子（N=8 圆环，m=1，间距取 1）
N, m = 8, 1.0
K = [[0.0]*N for _ in range(N)]
for i in range(N):
    K[i][i] = 2 + m*m                        # 动能主对角（-∂² 离散化）
    K[i][(i+1) % N] = -1
    K[i][(i-1) % N] = -1
# 高斯-约当求逆
A = [row[:] + [1 if i == j else 0 for j in range(N)] for i, row in enumerate(K)]
for col in range(N):
    piv = max(range(col, N), key=lambda r: abs(A[r][col]))
    A[col], A[piv] = A[piv], A[col]
    p = A[col][col]
    A[col] = [v/p for v in A[col]]
    for r in range(N):
        if r != col and A[r][col] != 0:
            f = A[r][col]
            A[r] = [A[r][k] - f*A[col][k] for k in range(2*N)]
G = [row[N:] for row in A]
prod = [[sum(K[i][k]*G[k][j] for k in range(N)) for j in range(N)] for i in range(N)]
print("max |K·G - I| = %.2e（求逆正确性）" %
      max(abs(prod[i][j] - (1 if i == j else 0)) for i in range(N) for j in range(N)))
print("⟨phi_i²⟩（对角元）:", ["%.4f" % G[i][i] for i in range(N)])
print("G 第 0 行（间隔衰减）:", ["%.4f" % v for v in G[0]])
# 输出:
# max |K·G - I| = 2.22e-16（求逆正确性）
# ⟨phi_i²⟩（对角元）: ['0.4476', '0.4476', '0.4476', '0.4476', '0.4476', '0.4476', '0.4476', '0.4476']
# ⟨phi_0 phi_j⟩: ['0.4476', '0.1714', '0.0667', '0.0286', '0.0190', '0.0286', '0.0667', '0.1714']
​

三样东西从这张表里直读出来。其一，平移不变：对角元全部相等（0.4476）——圆环的对称性被路径积分自动尊重，1.3 的诺特账本在此显形。其二，指数衰减：第 0 行从 0.4476 依次降到 0.0190（对径点），两臂对称（0.1714、0.0667、0.0286 两侧一致）——这正是 2.4 看到的"关联长度由质量设定"在格点上的复现。其三，矩阵求逆即传播子：K·G = I 精确到机器零，路径积分的"生成泛函一次算完所有关联"不是修辞，是线性代数。真实格点 QCD 把这个流程推到四维、几十万个自由度、带上规范场与费米子行列式——算法骨架与你刚跑的八点圆环完全相同。

⚠️ 易错点：路径积分的测度 D[φ] 没有严格定义（它是形式记号），闵可夫斯基的振荡权重 e^{iS} 更是无法直接采样。数值计算一律转到欧氏时间（e^{−S}），解析结果再延拓回去；两套时序由维克转动连接——忘记这套流程的边界条件是初学与文献对话时的高频障碍。

💡 关键直觉：正则量子化问"算符如何对易"，路径积分问"每种历史贡献多大相位"。前者精细后者民主；规范理论与统计力学都是民主阵营的主场——下一节开始，对称性将在这个主场完成它最惊人的升级。

本节要点回顾

• 民主求和：振幅 = ∫D[φ] e^{iS}，全部场构型加权投票
• 生成泛函：Z[J] 求 n 次导吐出 n 点函数；自由理论的高斯积分免费附送威克定理
• 蒙特卡洛实测：0 维高斯 ⟨x²⟩ = 0.7168 对 1/2a = 0.7143，接受率 76.9%
• 矩阵即传播子：格点 KG 的两点函数 = 动力学矩阵之逆，K·G = I 到机器零
• 平移与衰减：对角全等（对称性）、第 0 行指数衰减（关联长度），2.4 的结论在格点复现

记账法已换，下一节做观念升级：把 1.3 的整体对称性改成逐点成立，你会看到规范场不是被发明的，而是被对称性"逼上舞台"的。