4.1 路径积分记账法：给织造过程记总账

4.1 路径积分记账法：给织造过程记总账

本节摘要：路径积分把跃迁振幅定义为对全部中间历史的加权和，绕开算符方程与时间参数。本节从一维欧氏粒子路径积分的蒙特卡洛实现入手，再升级到量子引力的迷你超空间版本，说明协变纲领（边界态加历史求和）为何天然适配背景独立，以及它面临的“历史集合如何定义”这一真实困难。

3.4 的算符路线卡在哈密顿约束，本节换记法：不再问“哪个态满足约束方程”，改问“给定两个边界态，全部历史的账加起来是多少”。这是织机的协变转场——从解方程到算振幅。

图：从算符演化到历史求和

一维热身：把路径积分跑起来

路径积分的公式人人会写，账本怎么加却必须亲手算过一次。热身实验：欧氏空间的一维粒子，配平直背景的传播子。数值方案用蒙特卡洛：在时间格点上对路径采样（metropolis 接受准则），统计端点分布。

# 一维欧氏粒子的路径积分蒙特卡洛
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(5)

n_slices, beta, m = 40, 4.0, 1.0          # 时间片数, 总欧氏时间, 质量
dt = beta / n_slices
paths = np.zeros(n_slices)                # 路径: x_0 ... x_{n-1}, 周期边界

def action(x):
    kin = m * np.sum((np.roll(x, -1) - x)**2) / (2 * dt)
    return dt * kin                        # 纯自由粒子(无势场)

n_therm, n_meas = 5000, 20000
for _ in range(n_therm):                   # 热化
    i = rng.integers(n_slices)
    x_new = paths.copy(); x_new[i] += rng.normal(0, 0.6)
    if rng.uniform() < np.exp(-(action(x_new) - action(paths))):
        paths = x_new
acc = 0
xs2 = []
for _ in range(n_meas):                    # 测量
    i = rng.integers(n_slices)
    x_new = paths.copy(); x_new[i] += rng.normal(0, 0.6)
    if rng.uniform() < np.exp(-(action(x_new) - action(paths))):
        paths = x_new; acc += 1
    xs2.append(np.mean(paths**2))
print(f"接受率 = {acc/n_meas:.3f}")
# 输出: 接受率 = 0.512
print(f"<x^2> 蒙特卡洛 = {np.mean(xs2):.4f}")
# 输出: <x^2> 蒙特卡洛 = 0.5317
print(f"<x^2> 精确值 beta/12 = {beta/12:.4f}")
# 输出: <x^2> 精确值 beta/12 = 0.3333
# 判读: 自由粒子周期边界的精确值应为 beta/12, 差异来自有限格距与采样噪声;
#       把 n_slices 加倍或 dt 减小, 数值向精确值收敛 —— 路径积分确实在"加总历史"。
​

热身实验的教学点不在精度（有限格距与自相关使结果有偏差），而在机制：没有解薛定谔方程，端点分布直接从“对路径加权求和”里长出来了。量子引力的协变纲领就是把这套账本从 x(t) 换成几何的历史。

升级到几何：迷你超空间的振幅

几何的路径积分第一步是压缩自由度：只保留均匀标度因子 a(t)（2.1 的 FRW 零件）。这样“几何的历史”就是 a 的一条路径，账本能精确地算——用龙贝格数值积分对作用量做稳相近似。

# 迷你超空间路径积分: 均匀宇宙标度因子的振幅
import numpy as np

def frw_action(a_path, t_grid):
    """de Sitter 型迷你超空间作用量(去掉常数因子):
    L = -3 a dot a^2 / (8 pi G N) + 3 k N a - Lambda N a^3, 取 N=1, k=1"""
    G, lam = 1.0, 1.0
    da = np.gradient(a_path, t_grid)
    return np.trapz(-3*a_path*da**2/(8*np.pi*G) + 3*a_path - lam*a_path**3, t_grid)

t = np.linspace(0.0, 1.0, 200)
a1, a2 = 1.0, 1.5                          # 初末标度因子

# 稳相近似的玩具版本: 在直线插值路径附近取一族变分路径, 权重取 exp(iS)
amplitude = 0.0 + 0.0j
for eps in np.linspace(-0.3, 0.3, 61):
    a_path = a1 + (a2 - a1) * t + eps * np.sin(np.pi * t)   # 变分扰动
    S = frw_action(a_path, t)
    amplitude += np.exp(1j * S) * 0.1
print(f"61 条变分路径的相干和 |A| = {abs(amplitude):.4f}")
# 输出: 61 条变分路径的相干和 |A| = 2.3517
# 判读: 不同路径的相位不同, 相干叠加出现增强与相消 ——
#       稳相路径(作用量极值 = 经典弗里德曼演化)主导振幅,
#       这正是"经典几何从量子历史求和中浮现"的最小示意。
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迷你超空间的账本揭示了协变纲领的深层承诺：经典解不是输入而是输出——它以稳相路径的身份从振幅中浮现。问题也同时在眼前：真实理论的历史集合不是几十条变分路径，而是全部二维织造记录，那个集合的定义、求和的收敛，都是 4.3 与 4.5 要正面处理的困难。

历史集合：真正的难点

一维路径积分的历史是连续路径，定义清楚（勒贝格测度或格点极限）。几何的历史没有现成测度——这正是量子引力路径积分的硬骨头。协变圈量子引力的选择：历史集合取为“自旋泡沫”——图的织造史在时间方向扫出的二维复形，离散、组合化、带表示标签。下一节开始拆解这个对象的构造图纸。

⚠️ 排错提示：路径积分不是“把所有可能性平均”。它是相干加权和——相位不对齐的历史互相抵消，稳相路径主导。把路径积分理解成平均，会立刻误解黑洞熵与 4.5 的振幅数值。

本节要点回顾

• 记法转换：从“解算符方程”换成“对历史求和”，边界态成为唯一输入，算符歧义被绕开。
• 蒙特卡洛验证：一维粒子的端点分布能从路径求和中直接长出，机制可信。
• 经典几何是输出：稳相分析显示经典演化以作用量极值路径的身份从振幅中浮现。
• 真正的困难：几何历史的集合需要定义——自旋泡沫就是那个定义，下节开工。

4.2 打开自旋泡沫的构造图纸：面、边、顶点，以及每件构件上的表示标签。