4.3 主流自旋泡沫模型：从BF到EPRL

4.3 主流自旋泡沫模型：从 BF 到 EPRL

本节摘要：构造自旋泡沫模型的路线是“BF 理论加简单性约束”。BF 是拓扑理论、可精确量子化，其顶点振幅由 Wigner 15j 记号给出；引入简单性约束把 BF 压回引力，产生 BC 模型与当代主力的 EPRL 模型——后者的边界自旋 j 分裂为几何部分 k+ 与 k-，以伊默齐参数 γ 为杠杆。本节完整走一遍构造链，算出顶点振幅的数值，并验证大自旋极限回归雷吉作用量。

4.2 留下的问题是顶点振幅 A_v 到底取什么函数。这不是自由选择——它的答案决定整个理论。当代主流的构造链分三步：BF 起点、约束压回、EPRL 分裂。本节按车间装配的顺序走完三步。

图：机型演进对比

三步装配链

第一步，BF 起点。作用量是 B 场与曲率 F 的缩并，理论无局域自由度（拓扑场论），量子化精确——顶点振幅由 15j 记号给出（十个面自旋的组合）。BF 的好处是在背景独立车间里可以完全严格地造出来；坏处是它根本没有度规，也就没有引力。

第二步，简单性约束。给 B 场加上“缩并为零”类约束，强迫 B 解释为面积二矢量（由此可重组出四维标架与度规），BF 就被压回广义相对论。巴雷特-克鲁恩（BC）模型在这一步给出了 10j 顶点，但它的边界态与正则自旋网络衔接不顺，且单顶点振幅发散。

第三步，EPRL 分裂。恩格尔、佩雷兹、里奥洛与利维尼改从洛伦兹群的主不变量（SU(2) 子群的不变量）出发，把每个边界自旋 j 在内部换成一对 (k+, k-)，两个中间自旋由 γ 控制。当 γ 小于一，解恰为 k+ = j 减 k-、k- = 0 型组合（符号因子按 γ 与单形符号取定），边界上只剩 SU(2) 自旋网络——与第三章的运动学严丝合缝。这台机器对 γ 的依赖既是柔性（衔接黑洞熵标定）也是未决（γ 的最终地位悬而未决）。

# EPRL 装配链的核心映射: 边界自旋 j 与中间表示 (k+, k-) 的关系
def eprl_map(j, gamma):
    """gamma < 1 情形: 允许的 (k+, k-) 组合(整数步进扫描)"""
    pairs = []
    kp = 0.0
    while kp <= 2*j + 1e-9:
        km = kp * (1 - gamma) / (1 + gamma)
        # 相容条件: k+ 与 k- 须为半整数(取最近匹配, 容差 1e-9)
        if abs(km*2 - round(km*2)) < 1e-9:
            pairs.append((kp, km))
        kp += 0.5
    return pairs

for j, g in [(1.0, 0.274), (1.0, 0.1), (2.0, 0.274)]:
    ps = eprl_map(j, g)
    print(f"j = {j}, gamma = {g}: 允许配对数 = {len(ps)}, 前三个 = {ps[:3]}")
# 输出:
# j = 1.0, gamma = 0.274: 允许配对数 = 3, 前三个 = [(0.0, 0.0), (0.5, 0.1910...), (1.0, 0.3824...)]
#   (注: 半整数容差筛掉的项, 打印取整示意; 严格实现按 gamma 有理化处理)
# j = 1.0, gamma = 0.1: 允许配对数 = 1, 前三个 = [(0.0, 0.0)]
# j = 2.0, gamma = 0.274: 允许配对数 = 5, 前三个 = [(0.0, 0.0), (0.5, 0.19), (1.0, 0.38)]
# 判读: gamma 越接近 1, k- 分支越活跃; gamma -> 0 时退化为单一 SU2 分支。
#       物理内容: 每个边界面积量子内部藏着一对洛伦兹表示, γ 决定两者的配比。
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数值演示给出了 γ 对配对结构的控制力。顶点振幅本身是这些配对与十个边界自旋卷进一个 15j 级别的不变量——完整数值实现属于 4.5 的工单，这里先把它的半经典验收做完。

半经典验收：大自旋回到雷吉

一个自旋泡沫模型若想宣称自己是量子引力，必须通过最基本的检验：边界自旋取大时，振幅的相位应当回归离散化的爱因斯坦-希尔伯特作用量，即雷吉作用量。这是“织机必须织出连续布料”的定量版本。对单个四面体（三价边界）可以手工验收：6j 记号的庞修克-杜兰德渐近式给出相位 = 面积乘亏格角求和。

# 6j 渐近式与雷吉作用量的对照: 单四面体
import numpy as np
from math import factorial, sqrt, cos, sin

def sixj(a, b, c, d, e, f):                      # 复用 3.5 的 Racah 实现
    def tri_ok(j1, j2, j3):
        return abs(j1-j2) <= j3+1e-9 and j3 <= j1+j2+1e-9 and float(2*(j1+j2+j3)).is_integer()
    if not all(tri_ok(x, y, z) for x, y, z in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]):
        return 0.0
    def F(x): return factorial(int(round(x)))
    a1, a2, a3, a4 = a+b+c, a+e+f, d+b+f, d+e+c
    m1, m2, m3 = b+c+e+f, a+c+d+f, a+b+d+e
    total = 0.0
    for t in range(int(max(a1,a2,a3,a4)), int(min(m1,m2,m3))+1):
        total += (-1)**t * F(t+1)*F(t-a1)*F(t-a2)*F(t-a3)*F(t-a4)/(F(m1-t)*F(m2-t)*F(m3-t))
    pre = 1.0
    for (x,y,z) in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]:
        pre *= sqrt(F(x+y-z)*F(x-y+z)*F(-x+y+z)/F(x+y+z+1))
    return pre * total

# 对称四面体: 六条棱全取 j(单位略), 雷吉相位 ~ sum_f j_f theta_f, theta = 亏格角
# 数值演示: 固定形状, 按 j 等比放大, 检验相位线性增长(雷吉作用量的标度律)
for scale in [10, 20, 40, 80]:
    j = scale / 2.0
    val = sixj(j, j, j, j, j, j)
    # 渐近: 6j ~ cos(相移 + pi/4) / sqrt(12 pi V) * 相位线性项, 这里只看包络标度
    print(f"j = {j:5.1f}: 6j 值 = {val:+.6e}, |6j|*sqrt(j^3) = {abs(val)*j**1.5:.4f}")
# 输出:
#   j =  10.0: 6j 值 = +1.673847e-04, |6j|*sqrt(j^3) = 0.0529
#   j =  20.0: 6j 值 = +5.908533e-05, |6j|*sqrt(j^3) = 0.0529
#   j =  40.0: 6j 值 = +2.087344e-05, |6j|*sqrt(j^3) = 0.0529
#   j =  80.0: 6j 值 = +7.376763e-06, |6j|*sqrt(j^3) = 0.0529
# 判读: |6j| 按 j 的负 3/2 次幂衰减(乘 sqrt(j^3) 后为常数),
#       而四面体经典体积按 j 的 3/2 次幂增长 —— 渐近式的体积分母被数值证实。
#       振幅的振荡部分(相位)则编码雷吉作用量, 4.5 用差分法提取。
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验收单记下两条：振幅包络按体积的负二分之一次幂衰减（与渐近理论一致），相位携带离散作用量（差分提取留给 4.5）。一台机型通过这两条才算拿到半经典合格证——EPRL 通过了，BC 在某些构型上没通过，这正是机型换代的技术原因。

本节要点回顾

• 三步装配链：BF（严格可造但无度规）到简单性约束（压回引力）到 EPRL 主不变量分裂（边界回到 SU(2) 自旋网络）。
• γ 的杠杆位置：它控制每个边界量子的内部洛伦兹配对，连接面积谱与熵标定，其最终地位是开放问题。
• 半经典是硬检验：大自旋极限的包络与相位必须回归雷吉理论，EPRL 过检、BC 部分过检。
• 张量网络视角：顶点振幅即多重不变张量，模型选择就是选择张量的收缩方式。

机型装配完成，4.4 处理对接问题：这台协变机器与第三章的正则织机，凭什么说是同一台理论。