3.5 SU2表示论工具间：重耦与彭罗斯图

3.5 SU(2) 表示论工具间：重耦与彭罗斯图

本节摘要：圈量子引力的全部计算都踩在 SU(2) 表示论上——维数公式 2j+1、克莱布希-戈登耦合、Wigner 6j 记号的重耦恒等式、彭罗斯二值图的图形演算。本节把这些工具集中入库，配数值实现与验证，供 3.3 的谱计算、4.3 的顶点振幅、5.2 的微观态计数按单取用。

工具间不属于主线工序，但每个车间都要来这里取件。前三节反复出现的 j、耦合、不变张量，现在一次备齐；本节刻意写成速查手册式的结构，公式配验证代码，取用即走。

图：彭罗斯二值图的记号约定

货架一：维数与耦合

SU(2) 不可约表示用半整数 j 标记，表示空间维数 2j+1。两个表示 j1 与 j2 的直和分解为从 |j1-j2| 到 j1+j2 的所有表示各一次——这就是角动量耦合理论。交缠空间维数（3.2 已用）是它的直接推论。维数公式小而关键，先入库并验证耦合规则的自洽性。

# 货架一: 维数公式与耦合规则的自洽验证
def dim(j):
    return int(2*j + 1)

# 验证: 直和维数守恒 dim j1 x dim j2 = sum_J dim J
def decompose(j1, j2):
    Js = []
    J = abs(j1 - j2)
    while J <= j1 + j2 + 1e-9:
        Js.append(round(J*2)/2)
        J += 1
    return Js

for j1, j2 in [(0.5, 0.5), (1.0, 0.5), (1.0, 1.0), (1.5, 1.0)]:
    lhs = dim(j1) * dim(j2)
    rhs = sum(dim(J) for J in decompose(j1, j2))
    print(f"j1={j1}, j2={j2}: {lhs} = {rhs}  耦合链 {decompose(j1,j2)}")
# 输出:
# j1=0.5, j2=0.5: 4 = 4  耦合链 [0.0, 1.0]
# j1=1.0, j2=0.5: 6 = 6  耦合链 [0.5, 1.5]
# j1=1.0, j2=1.0: 9 = 9  耦合链 [0.0, 1.0, 2.0]
# j1=1.5, j2=1.0: 12 = 12  耦合链 [0.5, 1.5, 2.5]
​

维数守恒是入场检查：直和前后的总维数必须相等，四组样例全部通过。真正的重货在下一货架。

货架二：克莱布希-戈登系数与 6j 重耦

CG 系数是两个表示耦合成一个表示时的展开系数，3j 记号是其对称化版本。三个表示的两次耦合顺序不同（先 12 后并 3，对先 23 后并 1），两组基之间的变换矩阵元就是 Wigner 6j 记号——重耦恒等式的核心部件。4.3 的顶点振幅将由 6j（及其高维亲戚 15j）组装，5.2 的微观态计数将大量用 CG。这里给出一个能跑的数值 6j 实现（Racah 公式），并用标准值与正交关系双重验收。

# 货架二: 6j 的数值实现(Racah 公式)与双重验收
import numpy as np
from math import factorial, sqrt

def tri_ok(j1, j2, j3):
    return abs(j1-j2) <= j3+1e-9 and j3 <= j1+j2+1e-9 and float(2*(j1+j2+j3)).is_integer()

def sixj(a, b, c, d, e, f):
    if not all(tri_ok(x, y, z) for x, y, z in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]):
        return 0.0
    def F(x): return factorial(int(round(x)))
    a1, a2, a3, a4 = a+b+c, a+e+f, d+b+f, d+e+c
    m1, m2, m3 = b+c+e+f, a+c+d+f, a+b+d+e
    total = 0.0
    for t in range(int(max(a1,a2,a3,a4)), int(min(m1,m2,m3))+1):
        total += (-1)**t * F(t+1)*F(t-a1)*F(t-a2)*F(t-a3)*F(t-a4) / (F(m1-t)*F(m2-t)*F(m3-t))
    pre = 1.0
    for (x,y,z) in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]:
        pre *= sqrt(F(x+y-z)*F(x-y+z)*F(-x+y+z)/F(x+y+z+1))
    return pre * total

# 验收一: 与手算已知值对照 {1/2 1/2 1; 1/2 1/2 1} = 1/6
v = sixj(0.5, 0.5, 1.0, 0.5, 0.5, 1.0)
print(f"6j = {{0.5 0.5 1; 0.5 0.5 1}} 数值 = {v:+.6f}  标准值 = +0.166667")
# 输出: 6j = {0.5 0.5 1; 0.5 0.5 1} 数值 = +0.166667  标准值 = +0.166667
# 验收二: 正交性 sum_j (2j+1)(2e+1)(2j'+1) {a b j; c d e}{a b j'; c d e'} = δ(1,1')/(2j'+1) 型关系
# 取 a=b=c=d=1 固定, 对 j 扫描验证归一
S = sum((2*j+1) * sixj(1,1,j,1,1,1.0)**2 for j in [0.0, 1.0, 2.0])
print(f"sum_j (2j+1) 6j^2 = {S:.6f}  期望 = 1/(2*1+1) 的倒数 = 0.333333")
# 输出: sum_j (2j+1) 6j^2 = 0.333333  期望 = 1/(2*1+1) 的倒数 = 0.333333
​

验收双双通过：数值与标准值吻合到六位，正交关系闭合。这个 sixj 函数在 4.3 计算 EPRL 顶点、5.2 计数视界微观态时直接复用——工具间的意义正在于一次验收、处处取用。

货架三：彭罗斯二值图的收缩规则

图形演算把张量计算变成图的操作：三价顶点是 3j 记号，闭合线收缩是指标求和，线交叉记负号，单个 j=1/2 圈读数负二。彭罗斯最初发明这套图正是为了计算自旋网络的整体值；圈量子引力把图形当物理态，是历史的回环。用二值规则手推一个经典恒等式：两个基本三价顶点拼成的四边形网络值等于 6j 的多项式——这正是重耦恒等式的图形版本，4.3 将把它升格为时空的量子振幅。

💡 工具间的使用建议：不要试图一次背下全部公式。正确姿势是记住三件套的入口——维数公式、CG 耦合、6j 重耦——需要时回来取数值实现，用验收代码确认后再用。

本节要点回顾

• 三件套入库：维数 2j+1（谱与计数的底座）、CG 耦合（顶点不变张量）、6j 重耦（基变换与振幅部件）。
• 数值验收习惯：任何表示论代码先过标准值对照与正交性检查，再进入物理计算——本节的 sixj 即为范例。
• 图形演算：二值图把张量收缩画成线的拼接，线交叉记负、圈读负二；自旋网络求值的递归算法由此展开。

工具间备货完毕，整经车间的工单到此完成。第四章协变车间开工：路径积分登场，自旋网络将被“织造历史”连接起来。