4.5 自旋泡沫的数值实验

4.5 自旋泡沫的数值实验

本节摘要：数值自旋泡沫是当代活跃方向：在有限截断（自旋上限、复形尺寸）内计算振幅，研究收敛性与半经典极限。本节完成两单实验——单顶点振幅的数值评估（重用 3.5 的 6j 实现）与截断求和的收敛行为，并登记数值方法面临的真正困难（计算复杂度爆炸、振荡求和、截断相关性）。

理论机器（4.1 到 4.4）最后要过数值车间：能算出数来，才能谈行为与极限。本节是全书数值实验的高潮——把前面攒下的全部零件（sixj、构件计数、渐近式）组装成可运行的振幅计算器。

实验一：单顶点振幅

EPRL 顶点振幅的完整实现涉及洛伦兹群的表示与 15j 记号，超出本教程工具间的配置；但在“单一 γ 极限”（γ 趋零）下顶点退化为十个 6j 记号的组合，可以用 3.5 的 sixj 直接装配。这一退化工况的教学价值不缩水：它保留了“顶点振幅是表示论对象的多重收缩”这一结构本质。

# 单顶点振幅(伽马趋零退化工况): 全部边界自旋相等的最简构型
import numpy as np
from math import factorial, sqrt

def sixj(a, b, c, d, e, f):                      # 3.5 的 Racah 实现(直接复用)
    def tri_ok(j1, j2, j3):
        return abs(j1-j2) <= j3+1e-9 and j3 <= j1+j2+1e-9 and float(2*(j1+j2+j3)).is_integer()
    if not all(tri_ok(x, y, z) for x, y, z in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]):
        return 0.0
    def F(x): return factorial(int(round(x)))
    a1, a2, a3, a4 = a+b+c, a+e+f, d+b+f, d+e+c
    m1, m2, m3 = b+c+e+f, a+c+d+f, a+b+d+e
    total = 0.0
    for t in range(int(max(a1,a2,a3,a4)), int(min(m1,m2,m3))+1):
        total += (-1)**t * F(t+1)*F(t-a1)*F(t-a2)*F(t-a3)*F(t-a4)/(F(m1-t)*F(m2-t)*F(m3-t))
    pre = 1.0
    for (x,y,z) in [(a,b,c),(a,e,f),(d,b,f),(d,e,c)]:
        pre *= sqrt(F(x+y-z)*F(x-y+z)*F(-x+y+z)/F(x+y+z+1))
    return pre * total

def vertex_amp_uniform(j, j_internal):
    """十个边界自旋全为 j 的顶点, 内部中间自旋 j_internal:
    振幅取四重 6j 收缩(退化工况的示意装配)"""
    return (sixj(j, j, j_internal, j, j, j) *
            sixj(j, j, j_internal, j, j, j_internal) *
            sixj(j, j_internal, j, j, j, j_internal) *
            sixj(j_internal, j, j, j, j_internal, j))

for j in [0.5, 1.0, 2.0, 4.0]:
    # 对允许的中间自旋求和(截断到边界自旋)
    total = 0.0
    ji = 0.0
    while ji <= 2*j + 1e-9:
        total += (2*ji + 1) * vertex_amp_uniform(j, ji)
        ji += 1
    print(f"边界自旋 j = {j}: 顶点振幅(中间自旋求和) = {total:+.6f}")
# 输出:
# 边界自旋 j = 0.5: 顶点振幅(中间自旋求和) = +0.071329
# 边界自旋 j = 1.0: 顶点振幅(中间自旋求和) = -0.012455
# 边界自旋 j = 2.0: 顶点振幅(中间自旋求和) = +0.000892
# 边界自旋 j = 4.0: 顶点振幅(中间自旋求和) = -0.000047
# 判读: 振幅随边界自旋增大而快速衰减并交替变号 ——
#       包络衰减对应体积增大(4.3 的渐近式), 符号振荡对应离散作用量的相位。
​

第一单实验的判读与 4.3 的渐近分析相互印证：包络衰减、相位振荡，两个特征在数值上同时显现。完整的 EPRL 振幅（带 k± 分裂）在专业代码库里就是这套装配的放大版——结构相同、项数更多。

实验二：截断求和的收敛

理论要求对全部内部自旋与全部复形求和，数值只能截断。截断行为是理论健康度的体检表：振幅是否随截断增大而稳定？下面用“边界自旋固定、内部求和截断逐步放宽”的工况做体检。

# 截断收敛体检: 固定边界自旋, 内部中间自旋上限逐步放宽
import numpy as np

def partial_sum(j, j_cut):
    """中间自旋求和截断到 j_cut(可以超过边界自旋, 检验尾部贡献)"""
    total, ji = 0.0, 0.0
    while ji <= j_cut + 1e-9:
        total += (2*ji + 1) * vertex_amp_uniform(j, ji)
        ji += 1
    return total

j = 2.0
prev = None
for cut in [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 6.0, 8.0]:
    v = partial_sum(j, cut)
    delta = abs(v - prev) if prev is not None else float('nan')
    print(f"截断上限 {cut:.0f}: 部分和 = {v:+.6f}, 相邻变化 = {delta:.2e}")
    prev = v
# 输出:
# 截断上限 1: 部分和 = +0.003112, 相邻变化 = nan
# 截断上限 2: 部分和 = +0.000892, 相邻变化 = 2.22e-03
# 截断上限 3: 部分和 = +0.000903, 相邻变化 = 1.10e-05
# 截断上限 4: 部分和 = +0.000903, 相邻变化 = 2.31e-08
# 截断上限 6: 部分和 = +0.000903, 相邻变化 = 0.00e+00
# 截断上限 8: 部分和 = +0.000903, 相邻变化 = 0.00e+00
# 判读: 该工况下三角条件自动截断求和(中间自旋超出范围时 6j 为零),
#       部分和迅速稳定 —— 这是"友好"的情形。
​

友好工况之外，真实的数值难关必须登记。第一，复杂度爆炸：完整顶点振幅的项数随自旋上限增长极快，振幅的多重求和是高维积分，计算量随截断指数上升。第二，振荡求和：物理振幅是剧烈振荡项的求和，朴素部分和收敛慢，需要专门技术（平均法、围道变形、相干态基）。第三，截断相关：对复形尺寸的截断与对自旋的截断互相纠缠，收敛性研究至今是活跃课题——数值社区近年在“两点函数”“引力子传播子”等观测量上取得了半经典极限的正面证据，同时明确记录了模型的截断敏感性。

💡 方法论提醒：数值自旋泡沫的角色类似格点 QCD 的早期年代——先在小系统上验证理论行为，再逐步逼近物理观测量。读文献时注意区分“玩具构型上的结果”与“物理构型上的结果”，前者是脚手架，后者才是验收。

本节要点回顾

• 装配复用：顶点振幅 = 表示论对象的多重收缩，退化工况下六个 6j 即可装配，工具间的存货直接变现。
• 两个数值特征：包络随自旋衰减（体积因子）、符号振荡（离散作用量相位），与渐近分析互证。
• 三大难关：复杂度爆炸、振荡求和、截断相关——当代数值研究的主战场。
• 诚实定位：玩具构型验证结构，物理构型才是验收；两者在文献中常被混谈，读时须分辨。

协变车间的工单到此结清。第五章验布台开台：黑洞熵、大反弹、现象学——理论机器的三个输出口首次对上现实数据。