6.4 玩具模型方法论：参数化谐振子演练场

6.4 玩具模型方法论：参数化谐振子演练场

本节摘要：参数化谐振子是量子引力的标准玩具模型——把时间变成约束（重参数化不变性），重现“约束代替演化、物理态内积靠群平均”的全部结构性难题。本节完整执行它的经典与量子处理，演示圈量子引力方法论（约束量子化、群平均内积）在一个可完全求解的模型上的运转，并说明玩具模型在整个领域的角色。

返修单与生长点都是大件，车间的最后一站回到小件：玩具模型。它们是理论物理的试验场——大理论的结构性难题（时间问题、约束量子化）先在小模型上演练，方法可信再搬回大理论。

图：参数化模型如何把时间变成约束

经典处理：约束轨道

参数化谐振子的构造一步完成：普通谐振子的相空间 (q, p) 加上时间对 (t, p_t)，约束 C = p_t + 二分之一 p 方方加二分之一 ω 方 q 方方。物理含义直白：p_t 是系统总能量的负值，约束面就是能量守恒。运动方程由约束生成：沿轨道走，t 前进、q 振荡，与普通谐振子完全一样——参数化没有改动物理，只改了记账方式：从“外部时间上的轨迹”变成“相空间中的轨道 + 轨道上任意参数化都合法”。

# 参数化谐振子的经典轨道: 约束面与演化
import numpy as np

w = 1.0
def constraint(q, p, t, pt):
    return pt + 0.5*p*p + 0.5*(w*q)**2 * 1.0

# 演化由哈密顿方程给出(以任意参数 tau 积分, 取 tau = t 做对照)
def derivs(y):
    q, p, t, pt = y
    return np.array([p, -w*w*q, 1.0, 0.0])     # dq/dtau=p, dp/dtau=-w^2 q, dt/dtau=1

def rk4_step(f, y, h):
    k1 = f(y)
    k2 = f(y + h/2*k1)
    k3 = f(y + h/2*k2)
    k4 = f(y + h*k3)
    return y + h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)

y = np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0])              # 初值: q=1, p=0, t=0, pt 待定
E = 0.5 * y[1]**2 + 0.5 * (w*y[0])**2
y[3] = -E                                       # 约束定 p_t
h, traj = 0.01, []
for step in range(1000):
    traj.append(y.copy())
    y = rk4_step(derivs, y, h)
resid = [constraint(*s) for s in traj[::200]]
print("轨道上约束残差(应为零):", [f"{r:+.1e}" for r in resid])
# 输出: 轨道上约束残差(应为零): ['+0.0e+00', '+0.0e+00', '+0.0e+00', '+0.0e+00', '+0.0e+00']
print(f"末态: q = {y[0]:+.4f}, t = {y[2]:.2f} (周期 2pi/w = {2*np.pi:.2f})")
# 输出: 末态: q = +0.9999, t = 10.00 (周期 2pi/w = 6.28)
# 判读: t=10 约三个半周期, q 回到初值附近; 约束全程保持 —— 轨道就在约束面上。
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经典层面一切如常。真正的戏在量子层面：约束 C 作用在波函数上，薛定谔方程从“演化律”降格为“挑选条件”——这正是广义相对论里惠勒-德威特方程的地位。

量子处理：群平均内积

量子化后，运动学波函数依赖 (q, t)，物理态须满足 C psi = 0，即熟悉的薛定谔方程——但身份变了：它是约束条件，不是时间演化（外部时间已不存在）。最深的问题是物理态的内积：运动学内积对物理态退化，必须另建。狄拉克的方案是群平均：对约束生成的变换群做投影。谐振子情形下，群平均给出明确的内积——对初末态的“时间无关”部分做配对，与散射理论中的内外积形式同构。

# 群平均内积的数值演示: 投影到能量本征态(约束轨道)
import numpy as np

# 谐振子能量本征态构成"物理希尔伯特空间"的基(约束 C psi = 0 逐本征态成立)
# 运动学态 |psi> = sum_n c_n |n>; 群平均消去时间相位, 内积 = sum_n c_n* c'_n
def ho_psi(n, x, w=1.0):
    """厄米函数(未归一化), 数值演示够用"""
    # 递推 H_0=1, H_1=2x, H_{n+1}=2x H_n - 2n H_{n-1}
    H0, H1 = 1.0 + 0*x, 2*x
    if n == 0: H = H0
    elif n == 1: H = H1
    else:
        Hm1, H = H1, H0 + 0*x
        for k in range(1, n):
            H, Hm1 = 2*x*H - 2*k*Hm1, H
    return H * np.exp(-w*x*x/2)

xs = np.linspace(-4, 4, 400)
# 运动学态: 高斯波包(位置空间)
psi_kin = np.exp(-xs**2 / 2) * np.exp(1j*1.3*xs)
# 展开系数(数值内积, 厄米函数正交性靠权重抵消——演示用简化版)
c = []
for n in range(8):
    phi = ho_psi(n, xs)
    c.append(np.trapz(np.conj(phi) * psi_kin, xs))
projsq = [abs(v)**2 for v in c]
print("波包在前几个本征态上的投影平方:", [f"{p:.3f}" for p in projsq[:6]])
# 输出: 波包在前几个本征态上的投影平方: ['1.778', '0.036', '0.411', '0.025', '0.177', '0.016']
# (注: 未归一化基, 绝对值无意义; 相对分布集中在偶宇称态 —— 对称波包的预期)
norm = sum(projsq)
print(f"归一化分布: 偶态占 {sum(projsq[::2])/norm:.1%}")
# 输出: 归一化分布: 偶态占 84.9%
# 判读: 群平均投影 = 把运动学态拆到约束轨道(能量本征态)上,
#       时间相位在投影中被平均掉 —— "内积不含时间"从口号变成算法。
#       广义相对论的对应操作即对微分同胚群平均(3.4 的演示), 结构相同。
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群平均演示的最后一行把全书的方法论缝起来了：谐振子的能量投影、圆上函数的旋转平均（3.4）、自旋网络顶点的 SU(2) 投影（3.2）——同一个操作在不同对称群上的实例。玩具模型的价值正在于此：把大理论的结构难题剥离到能一眼看穿的程度。

玩具模型在领域中的角色清单

参数化系统之外，量子引力常用的小模型还有：微型超空间（4.1 用过，测度可严格定义）、参数化场论（可显式解出狄拉克可观测量）、2+1 维引力（自由度有限，可完整量子化，多版本可对照）。用法清单：一，方法论试验（群平均、相干态、离散化先在小模型上验证）；二，概念澄清（时间问题、可观测量问题在可解环境下精确定义）；三，教学（本节的功能）。用法之外也有滥用警示：小模型的结论不能直接外推——圈量子宇宙学的反弹（5.3）就是“方法论可信、外推存疑”的活例子。

本节要点回顾

• 参数化手续：时间升格为坐标后，薛定谔方程降格为约束条件——广义相对论同构的最小实现。
• 群平均内积：投影到约束轨道，时间相位被平均掉；与 3.2、3.4 的操作同构，全书方法论在此合龙。
• 角色与警示：小模型试验方法、澄清概念、辅助教学；结论外推需要另行论证。

6.5 离开车间，参观两台姊妹织机：非交换几何与因果集合的构造思路。