3.4 守恒形式与非守恒形式

3.4 守恒形式与非守恒形式

本节摘要：同一条守恒律有两种等价写法：守恒形式按"通量的散度"记账，对应控制体的进出账；非守恒形式用乘积法则展开后按"微团变化率"记账，对应拉格朗日的跟人视角。数学上两者恒等，但在数值计算里——尤其在激波这类不连续处——它们的表现有天壤之别。CFD 代码几乎清一色实现守恒形式，理由就在本节。

3.3 节把方程立在了点上，但同一个方程可以写出两种面貌。这不是文字游戏：选错面貌，数值模拟会在最关键的地方（激波）给出错误答案。

两种写法：账本式与跟随式

以质量守恒为例。守恒形式长这样（用文字描述结构）：

密度随时间的局部变化 + （密度通量沿三个方向的散度）= 0
​

每一项都是某个"量的通量"的散度——它原封不动地保留着 3.1 节控制体记账的形态：任何一点的守恒律都是"局部积累 = 净流入"。对任意划出的有限体积做体积分，散度定理把右边变成纯粹的面积分——进出账恰好对上，没有多出来的项。

非守恒形式则把通量展开：对密度项用乘积法则拆开，与速度散度组合后，方程改写为"密度的随体变化率 + 密度乘速度散度 = 0"。它的物理叙事是拉格朗日式的：跟着微团看它的密度如何变。两种写法逐项相减恰好为零——数学上恒等，纸上推公式爱用哪个都行。

分歧出现在哪里：不连续处

既然恒等，为什么要分家？答案藏在一个词里：间断。守恒形式是"积分意义"的：把微分方程跨过一个不连续面（激波）积分，自动给出两侧参数必须满足的跳跃关系（质量流、动量流、能量流连续匹配）——7.3 节的正激波关系式正是这么导出的。而非守恒形式在推导时默认了函数可微，跨过间断时乘积法则本身失去合法性。

数值计算把连续方程离散成网格上的差分，继承了这个品性：

• 守恒格式：网格之间你多我少的通量严格抵消，全域总质量、总动量守恒；激波位置与跳跃幅度自动满足正确的关系式。
• 非守恒格式：离散误差在不连续处累积，激波强度可能系统性偏弱或偏强，位置漂移。

一句话，守恒形式把"物理守恒"编进了离散算法的基因。这就是主流 CFD 软件（无论结构网格还是非结构网格求解器）的动量、质量、能量方程一律采用守恒形式的原因。做后处理、推导解析关系时人们仍常用非守恒形式——它叙事友好；一旦进入求解器，账本必须回到控制体原教旨。

一个对比例子：一维流动的两个面貌

同一维定常质量守恒，两种形式的口头版：

守恒形式：单位面积质量通量的沿程变化 = 0，即 ρV 沿程为常数
非守恒形式：ρ 的随体变化 + ρ 乘速度散度 = 0
​

第 7 章一维等熵流动里，"ρV 沿程为常数"（连续）配合动量通量守恒，能直接导出激波关系——全程用的是守恒账目。而不可压时 ρ 恒定，非守恒形式塌缩成"速度散度为零"，成为第 4 章势流理论的出发点：不可压流的运动学骨架，就是速度场无散度。这一句话同时是流线不可压缩密、速度与面积反比的数学根源。

何时可以用哪种（实务速查）

数值世界的现场：同一道激波，两种命运

把两种形式的差异落到一个具体场景。用一维网格算一道强激波（来流 Ma 3），分别用守恒格式与非守恒格式离散同一方程组：守恒格式给出的激波位置、波后压强与解析解吻合，只在间断处有几个网格的过渡带；非守恒格式则可能给出波后压强系统性偏低、激波位置漂移的解——网格越密也未必收敛到正确答案。原因正是 3.4 节说的：跨间断时非守恒离散的通量无法保证"你多我少恰好抵消"，误差在波上逐年累积。

工程后果不可小看：进气道总压恢复率、超燃冲压发动机燃烧室入口状态，全部取决于激波强度的预测精度。格式选择不是数值洁癖，是物理正确性的第一道闸。

问题：既然恒等，教科书为什么还要教两种形式？

因为推导与求解的分工不同。推解析结果（激波关系、面积律、势流方程）时，非守恒形式的"随体变化"叙事往往三行就能走通；编求解器时守恒形式是唯一保险。两者的关系类似斜面受力分析里的"沿面分解"与"水平竖直分解"——同一物理，按任务选坐标系。区别在于数值世界对坐标系有偏好：通量守恒的坐标系（守恒形式）在间断面前更皮实。

问题：有限元法也是守恒形式吗？

不必然。有限元基于变分或弱形式，离散守恒性取决于试探函数与检验函数的构造；间断伽辽金等格式可以做到局部守恒，标准连续伽辽金则未必。这就是为什么传统上流体求解器（尤其含激波的可压缩问题）以有限体积为主力，而结构力学偏爱有限元——各自的方程性格不同，工具跟着方程走。

问题：怎么一眼认出一个方程写成的是哪种形式？

看“乘积是否被展开”。守恒形式的通量项是完整的乘积（密度乘速度整体）被散度或导数包住，展开括号就“破了守恒身”；非守恒形式的标志是乘积法则已经应用过、变量被拆开各自求导（密度求一次导、速度散度单独成项）。审查 CFD 求解器文档里的方程表时，这半个动作就能判断格式血统——细节虽小，激波算例上一试便知高下。

问题：能量方程也有两种形式吗？

有，分工同理。总能量（内能加动能）或总焓形式的方程在跨激波时自动给出“总温不变”的跳跃结果，是可压缩求解器的标配；温度形式或机械能形式在推导气动加热估算、伯努利推广时更顺手。与质量、动量两账合看，三条守恒律的“守恒形式全家福”正是有限体积法离散的对象——第 7 章激波关系式就是这三条账在间断两侧的联立解。

本节要点

• 两种形式数学恒等，物理站位不同：守恒式站在控制体，非守恒式站在微团。
• 守恒形式跨间断依然合法，自动给出激波跳跃条件；非守恒形式依赖可微性。
• CFD 用守恒形式为的是离散层面严格守恒、激波参数正确。
• 不可压极限下非守恒形式退化为"速度散度为零"，是第 4 章的运动学基石。
• 实务速查：推导关系式与写求解器用守恒式，讲物理与推势流用非守恒式。

守恒框架至此完备。第 4 章开始，我们给这套框架加上"密度不变"的假设，进入不可压缩流动的世界——两个能徒手解出的经典流动正在等候。