1.3 相干性与光子简并度：激光与热光的分界

1.3 相干性与光子简并度：激光与热光的分界

本节摘要：把 1.2 节的定性差异翻译成可测量：时间相干性由线宽决定（相干长度 L_c = c/Δν），空间相干性由光源角尺寸决定，光子简并度 n̄ 则是两种辐射势力范围的单一数字判据。热光 n̄ 约 10⁻² 以下，激光单模 n̄ 可超 10¹⁰，这条跨越十二个数量级的鸿沟就是"激光"二字的全部含义。

上一节末尾给出的判据 R = n̄ 还剩一步没走完：n̄ 是理论量，实验上怎么测、怎么算？这一节把它拆成两个互补的可测维度——时间相干性与空间相干性，再用光子简并度把它们捏合起来。读完本节，"激光比普通光纯"这类含糊表述应该被彻底替换成具体的数字。

时间相干性：线宽的另一张面孔

没有光源能发出无限长的正弦波。自发辐射的随机中断把波列切成有限长度的片段，频谱随之被展宽：光谱线宽 Δν 与波列平均持续时间 τ_c（相干时间）满足傅里叶对关系，对洛伦兹线形有 Δν = 1/(2πτ_sp)（自然线宽），乘上多普勒、碰撞等加宽后实际线宽更大。相干长度由此定义：

L_c = c · τ_c ≈ c/Δν

这组换算值得背下来，工程上天天用。代入几个真实数字感受量级：白光 Δν ≈ 3×10¹⁴ Hz，L_c 只有几微米，干涉条纹转瞬即逝；He-Ne 激光器自由运转时 Δν ≈ 500 MHz（多纵模），L_c ≈ 60 cm；单纵模稳频后 Δν 降到 1 MHz，L_c 拉到 300 m；碘稳频 He-Ne 线宽进入 kHz 量级，相干长度以百公里计——这就是为什么长度计量和引力波探测非激光不可。测量的标准工具是迈克尔逊干涉仪：移动一臂，条纹可见度从 1 跌到 0.707（有教材取 0.5）对应的程差即 L_c 的工程定义。

一阶相干度 g⁽¹⁾(τ) 把这件事写成规范语言：g⁽¹⁾(τ) = ⟨E*(t)E(t+τ)⟩/⟨|E|²⟩，热光是指数衰减的实函数，理想单模激光是模为 1 的振荡（在相干时间尺度内不衰减）。维纳-辛钦定理保证 g⁽¹⁾(τ) 与光谱线形互为傅里叶对——测光谱就是测相干性，反之亦然。

空间相干性：光源尺寸的倒影

时间相干性管"先后"，空间相干性管"左右"。缝宽 d 的扩展光源，在远场张角 θ ≈ λ/d，其发光面上两点发出的光经传播后仍能干涉的最大横向距离由范西特-泽尼克定理给出：

d_c ≈ λ/(2θ) = λ·R/(2a)（a 为光源半径，R 为观察距离）

太阳在地面上的张角约 0.5°（约 10 mrad），550 nm 绿光的空间相干宽度只有约 0.06 mm——所以阳光下的双缝干涉要做针孔滤波才看得见。激光则不同：受激辐射把同一波前复制出去，只要横模是 TEM₀₀，整个光斑内任意两点都相干，直径 1 cm 的光束空间相干性覆盖全斑。全息照相要求光程差内的整个画面参与干涉，太阳光做不到、激光轻而易举，根源在此。

图：光子简并度数量级阶梯（从热光到激光）

光子简并度：把两个维度捏成一个数

相干性有两个维度，但激光与热光的分界可以简化成单一指标——光子简并度 n̄，即同一个光学模式里的平均光子数。它对热平衡场就是黑体公式 n̄ = 1/(e^(hν/kT)−1)：可见波段（hν ≫ kT）这个值小到 10⁻³ 以下，意味着绝大多数模式空着，偶尔蹦出一个光子还是孤身一人——自发辐射的世界是"人烟稀少"。相干场没有温度的束缚：单模激光把全部光子赶进同一个模式，n̄ 可以任意高。

用输出参数算 n̄ 有个极好用的公式：n̄ = P/(hνΔν)，功率除以（单光子能量乘线宽）。它把 1.2 节的判据变成了工程速算：白炽灯按 100 W、覆盖整个可见波段算，分到单一模式里 n̄ 仍然远小于 1；一台 10 mW 的半导体激光器，纵模线宽 10 MHz，n̄ ≈ 10¹⁰。两者相差十三个数量级——不是"更亮一点"，而是质的分界。图中的阶梯把常见光源钉在这把尺子上，读图要点：相邻台阶相差约 7 个数量级，中间几乎没有过渡地带（超辐射 LED 是少数站中间的），这正是为什么"激光"值得单独命名。

三条延伸与易错点

其一，相干性高不等于单色性好到"永远"。自由运转激光器因腔长振动、温度漂移，实际线宽（约 MHz）远大于肖洛-汤斯极限；稳频技术（第 6 章）做的就是把工程线宽压向物理极限。其二，n̄ 与亮度是两回事：1000 W 的多模激光若摊在 100 个横模里，单模 n̄ 反而可能低于 1 W 的单频器。"亮度"（radiance）的正确算法是功率除以（模式数乘光束立体角），高亮度光源的本质是高 n̄ 加低发散角。其三，空间相干性与方向性常被混为一谈：方向性由衍射决定（θ ≈ λ/(πw₀)），空间相干性由模式纯度决定——多模激光方向性尚可但空间相干性差，单模光纤激光两者兼得。

本章到此处完成了"两种辐射 → 可测指标"的翻译。下一站第 2 章回到那个悬而未决的问题：如何让 N₂ > N₁。

实操案例：用迈克尔逊干涉仪亲手量一次相干长度

把 L_c = c/Δν 从公式变成手上数据。器材：待测 He-Ne 激光器（多模，标称约 20 mW）、迈克尔逊干涉仪、光电探测器加示波器（或直接目视）、压电平移台。流程四步：第一步，等光程对齐——两臂程差调到 1 cm 以内，屏上出现清晰圆形条纹，中心"吞吐"圆环微调对正零程差；第二步，单臂扫描——驱动压电台把测量臂匀速拉长，同时记录条纹可见度（条纹亮暗对比度）随程差的变化；第三步，找拐点——可见度从 1 平滑下降，取降到 0.7 左右的程差位置记为工程相干长度 L_c；第四步，反推线宽——Δν ≈ c/L_c，与理论预期（多纵模间隔 500 MHz 的梳状谱对应的拍周期）核对。

一次典型测量：多模 He-Ne 的可见度在程差约 15 cm 处跌破 0.7，但有趣的是在 30 cm、45 cm 附近可见度出现"复活"小峰——这是纵模群（间隔精确的多个频率）干涉的拍周期效应，单模激光器没有这个结构。这个细节的教学价值很大：它直观展示了"多纵模 = 多频率 = 拍频结构"，也解释了为什么计量应用必须用单频激光器（拍结构的不可预测性会毁掉测量）。若换一台稳频单模 He-Ne 重做，可见度到 100 m 程差都看不出衰减——两次测量的差，就是"多模对单模"在相干性上的量化代价。

测量误差两处要心里有数：压电台的非线性让"匀速"不匀（可见度对程差的定位偏差约百分之几）；环境振动在长程差区放大（臂差越大条纹抖得越凶），所以 L_c 的可靠测量范围受隔振水平限制——这也是为什么 100 m 级相干长度的测量要在主动隔振台上做。

FAQ：两个延伸问题

问：太阳光用小孔滤波后能不能当"激光"用？ 部分能。针孔滤波（空间滤波）能把太阳光的空间相干性提上去（孔越小相干宽度越大），干涉实验里确实有人用滤光+针孔的阳光做杨氏双缝。但两点是激光做不到的替代品：光子简并度提不上去（针孔滤掉的正是亮度），干涉条纹暗得可怜；时间相干性受谱线宽限制（阳光单色滤波后 L_c 仍只有微米级）。空间相干可以靠几何补，光子简并度没有几何补丁——这是统计性质与几何性质的本质区别。

问：白光干涉测量（OCT 用的原理）为什么故意要"相干性差"的光源？ 因为层析分辨率反比于相干长度：L_c 越短，只有程差极小的那层组织参与干涉，"切片"越薄。OCT 用宽带光源（L_c 微米级）换取微米级深度分辨率——第 8 章医疗节会展开。这个反例提醒我们：相干性不是越高越好，而是"按用途选档"。

本节要点回顾

• 时间相干性 L_c = c/Δν：白光几微米、多模 He-Ne 约 60 cm、稳频单模可达百公里；
• 空间相干性 d_c ≈ λ/2θ：太阳光 0.06 mm，单横模激光覆盖整个光斑；
• 光子简并度 n̄ = P/(hνΔν) 是统一判据：热光 ≤10⁻²，激光单模 ≥10¹⁰，跨越十余个数量级且几乎无过渡；
• 相干性、方向性、亮度三个概念互相独立又相互关联，高亮度 = 高 n̄ × 低发散角。