1.1 复用技术的演进逻辑

1.1 复用技术的演进逻辑

本节摘要：SOURCE 1.1：FDM 用保护带换隔离，频谱效率低；OFDM 用 \Delta f=1/T 正交性叠载波，将时域 ISI 问题转为频域结构问题。

FDM → OFDM 范式迁移

FDM 三步：搬移 s_k(t)\cos(2\pi f_k t) → 叠加 → 带通滤波分离。代价是保护间隔、滤波器滚降、邻道泄漏——宽带多径下 ISI 仍严重。

OFDM 破局：子载波 u_k(t)=e^{j2\pi k\Delta f t}，\Delta f=1/T，匹配滤波后 k\neq l 内积为零。CP 将线性卷积变循环卷积，FFT 后每子载波独立均衡 Y_k=H_k X_k+N_k。

SOURCE 称正交性是「数字计算对模拟信道的规训」——复杂度从模拟滤波转向可编程基带。

⚠️ 常见坑：忽视 CP 开销——有效速率 = 总速率 × T/(T+T_{CP})。

💡 关键直觉：OFDM = 时频对偶 + 正交分解。

FDM 的结构性代价：数学视角

FDM 的频谱浪费可以用一个简单的模型量化。假设总带宽 B，分成 K 路，每路信号占用带宽 W_k，相邻通道之间留保护带 G。理想情况下每路最大符号率由奈奎斯特准则限制为 2W_k（对基带双边带）或 W_k（对带通单边带）。但由于滤波器滚降系数 \alpha>0，实际占用带宽变为 (1+\alpha)W_k，且还需额外保护带 G 抑制邻道泄漏。因此 FDM 的系统频谱效率为：

以典型语音信道为例，4 kHz 话音信号加滚降与保护带后实际占用约 8-12 kHz，效率只有 30%-50%。这一损失是 FDM 范式的固有代价，而非工程缺陷——它源于物理滤波器无法做到理想的矩形频率响应。当带宽资源紧张时，这种"凿掉璞玉三分之一"的做法难以承受。

更深层的矛盾在多径信道中暴露。宽带 FDM 信号的符号周期短，时延扩展 \tau_{max} 一旦超过符号周期，符号间干扰使各路信号相互污染。此时保护带不仅不能缓解 ISI，反而因压缩了可用带宽而降低吞吐。FDM 的本质是用"确定性隔离"规避"不确定性干扰"，代价是频谱的永久性浪费——这在模拟时代尚可接受，在数字时代则成为瓶颈。

OFDM 的正交性构造

OFDM 放弃了物理隔离，转而要求子载波在数学上正交。设第 k 路子载波为 u_k(t)=e^{j2\pi k\Delta f t}，符号周期为 T，子载波间隔取 \Delta f = 1/T。接收端用匹配滤波（即对 u_l^*(t) 做内积）分离第 l 路信号：

因为 k-l 是整数，e^{j2\pi (k-l)}=1，分子恒为零。这组基函数天然满足正交性，子载波频谱虽然互相重叠，接收端却能无失真分离——正交性替代了保护带。值得注意的是，OFDM 并未取消保护间隔，而是将其升华为循环前缀：CP 不是闲置的空白，而是符号尾部的复制。这一操作把信道的线性卷积变为循环卷积，从而允许接收端使用 FFT 实现频域分解。

下面用一段简单的 numpy 代码验证正交性，并观察无保护带时子载波频谱的重叠特性。

import numpy as np
# 验证 Δf=1/T 下两个子载波的正交性
N = 64                 # 符号周期内的采样点数
T = N / 1e3            # 符号周期，单位毫秒
k, l = 3, 7            # 两个子载波序号
n = np.arange(N)
u_k = np.exp(1j * 2 * np.pi * k * n / N)
u_l = np.exp(1j * 2 * np.pi * l * n / N)
inner = np.abs(np.sum(u_k * np.conj(u_l)))**2
print(f"k={k}, l={l}, |内积|^2 = {inner:.2e}")   # 接近 0 → 正交
inner_same = np.abs(np.sum(u_k * np.conj(u_k)))**2
print(f"k=k,    |内积|^2 = {inner_same:.0f} (应等于 N^2={N*N})")
​

CP 与频域均衡：从线性到循环

OFDM 的第三个关键步骤是 CP 的设计。设信道冲激响应 h(t)，时延扩展为 \tau_{max}。不加 CP 时，OFDM 符号经信道后产生线性卷积，前一个符号的拖尾会落入后一个符号的 FFT 窗口，破坏正交性。加 CP 后，只要 T_{CP} > \tau_{max}，接收端去掉 CP 截取一个完整周期，此时信道作用等价于循环卷积，FFT 之后得到：

其中 H_k 是信道在子载波 k 上的频响。这意味着原本的时域卷积难题，变成了 N 个独立的频域乘法——均衡器退化为每子载波一个复除法。这种结构把复杂度从随 \tau_{max} 线性增长的时域均衡，变成固定成本的频域单抽头均衡，是 OFDM 能被大规模部署的根本原因。

CP 的开销需要纳入链路预算：设有效符号周期 T、CP 长度 T_{CP}，频谱效率折扣因子为 T/(T+T_{CP})。LTE 常规 CP 约 4.7 微秒，符号总长约 71.4 微秒，开销约 6.7%；扩展 CP 模式下开销约 20%，但能支持更大的时延扩展场景。这一权衡贯穿全书：鲁棒性与效率的每一分交换，都在 CP 长度上留下了刻度。

从复用到多址的延伸

复用技术的故事并未止于 OFDM。OFDM 解决了"一个用户如何高效传输"，而"多个用户如何共享"则由多址技术回答——见第 5 章。OFDMA 把正交子载波按资源块分配给不同用户，将 OFDM 的频域分割能力延伸到多用户维度；LTE 下行采用 OFDMA，上行因终端功率受限改用 SC-FDMA 以降低峰均比；Wi-Fi 6 则在竞争式接入中引入 OFDMA 实现多用户并发。每一次延伸都遵循同样的逻辑：把稀缺的频谱组织得更精细、更灵活，而这正是从 FDM 到 OFDM 范式迁移的回声。

要点速记

• FDM 牺牲频谱换简单
• 正交性消除保护带需求
• CP 是 OFDM 抗多径的关键发明
• 频域均衡 = 逐子载波复除法，复杂度固定