2.3.2.2 嵌入定理与紧性

文档摘要

2.3.2.2 嵌入定理与紧性当Sobolev嵌入“失效”时，你的PDE求解器正在 silently crash——一个被忽略的紧性陷阱与三行代码的救赎你刚调通了一个基于 $H^1(\Omega)$ 空间的非线性椭圆方程求解器：网格自适应、Newton迭代收敛、残差下降到 $10^{-8}$，一切看起来都像教科书般优雅。可当你把解 $uh$ 投影回物理空间，绘制等高线时——边界附近突然炸开一圈高频振荡；再做 $L^\infty$ 误差评估，$\|u - uh\|{L^\infty}$ 不但不随 $h \to 0$ 收敛，反而在 $h = 0.01$ 后开始发散；更诡异的是，同一套代码在单位圆盘上稳如磐石，在带尖角的L形区域上却反复触发“雅可比矩阵奇异”警告。这不是数值噪声。