6.3 金融里的 Black-Scholes

6.3 金融里的 Black-Scholes

第三站的舞台离物理最远、离扩散方程最近。1973 年 Black、Scholes 与 Merton 用一条偏微分方程给期权定价，衍生品市场从此有了公尺。本节把完整链条走一遍：从"复制对冲"的经济论证推出 Black-Scholes 方程，用变量替换把它化装成热传导方程（1.3 节埋下的伏笔在此兑现），由热核积分读出闭式公式；再用第四章的克兰克–尼科尔森数值定价，亲眼看看收益函数的棱角如何考验格式——一份方程迁移的完整标本。

对冲组合推出的方程

推导只需要三条原料。其一，市场模型：标的资产价格 S 服从几何布朗运动，其期望回报被风险中性化后，价格演化的瞬时波动率为 σ·S——注意波动率正比于价格本身，这让后续方程的系数特殊。其二，期权价值 V(S, t) 是价格与时间的函数，用伊藤公式展开它的随机微分，其中出现 ∂V/∂S 与 ∂²V/∂S²。其三，构造组合：买入一份期权、卖出 Δ = ∂V/∂S 份标的——随机项恰好抵消，组合瞬间无风险。无套利要求这个组合的收益率等于无风险利率 r，整理后得到

∂V/∂t + (1/2)σ²S²·∂²V/∂S² + r·S·∂V/∂S − r·V = 0。

三个观察把这条方程接回本册。类型：二阶主部系数 0.5σ²S² 恒正、无混合项，判别式恒等于零——抛物型（2.1 的判定流程现学现用）。终值问题：期权价值已知的是到期时刻的收益（欧式看涨 max(S − K, 0)），时间倒着解——与热传导的正向初值问题互为镜像，换 τ = T − t 即化回标准形状。化归：令 x = ln(S/K)、把 τ 与 V 做伸缩平移，整条方程变成常数系数热方程 u_τ = u_xx 加一个源项——"换到特征的坐标系"（3.2 末尾预告的手筋）第二次建功。

闭式解与希腊字母

化装成热方程后，收益函数的傅里叶展开（3.1 的系数公式）加热核演化直接给出解；翻回原变量，欧式看涨期权的闭式解是

V = S·N(d₁) − K·e^(−r(T−t))·N(d₂)，d₁、d₂ 由 ln(S/K)、(r + σ²/2)(T − t)、σ√(T − t) 拼装，N 是标准正态分布函数。

解的结构远比公式本身值钱。它对 S 的偏导（对冲比率，业界叫 Delta）正是推导里卖出的份数——定价与对冲是同一条方程的一体两面；对 σ 的偏导（Vega）、对时间的偏导（Theta）定义了风险管理的全部词汇表——每个希腊字母都是一条偏导数。极值原理（2.2）在金融里同样上岗：看涨期权价值关于到期时间是单调的（Theta 符号固定），违反单调的数值解当场暴露格式错误——定性原理变成免费的单元测试。

数值实验：克兰克–尼科尔森定价与棱角考验

闭式解只在常数 σ、欧式、无分红的理想化下成立。美式期权（含自由边界）、路径依赖、波动率随价格变化——这些现实情形没有闭式解，数值方法是行业标配。用 4.2 的克兰克–尼科尔森在 x = ln S 坐标下定价欧式看涨，与闭式解对表，然后换成收益不光滑的数字期权（到期收益是 0 或 1 的阶梯），观察振荡并用 4.2 提过的平衡步修复：

import numpy as np
from math import erf

S0, K, r, sig, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
nx, nt = 400, 100
x = np.linspace(np.log(0.5), np.log(2.5), nx+1)      # ln(S/K) 网格
dx = x[1] - x[0]; dt = T/nt

a = 0.5*sig**2/dx**2 * np.ones(nx-1)                 # 二阶项系数（常系数化后）
b = (r - 0.5*sig**2)/dx * np.ones(nx-1)              # 一阶项系数
c = -r * np.ones(nx-1)                               # 零阶项

I = np.eye(nx-1)
Lop = (np.diag((a - b/2)[:-1], -1) + np.diag(-2*a + c)
       + np.diag((a + b/2)[:-1], 1))                 # 空间离散算子
A  = I - 0.5*dt*Lop                                  # 克兰克-尼科尔森左阵
Bm = I + 0.5*dt*Lop
Ai = I - dt*Lop                                      # 全隐式（平衡步用）

def bs_call(S):
    tau = T
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sig**2)*tau)/(sig*np.sqrt(tau))
    d2 = d1 - sig*np.sqrt(tau)
    N = lambda z: 0.5*(1 + np.vectorize(erf)(z/np.sqrt(2)))
    return S*N(d1) - K*np.exp(-r*tau)*N(d2)

def price(payoff, smooth=0):
    V = payoff.copy()
    for j in range(nt):                               # 倒向演化：从到期走到今天
        tau = (j + 1)*dt                              # 当前剩余到期时间
        rhs = Bm @ V[1:-1]
        rhs[0]  += 0.5*dt*(a[0]  - b[0]/2)  * 0.0     # 左边界：深价外取零
        rhs[-1] += 0.5*dt*(a[-1] + b[-1]/2) * (np.exp(x[-1]) - np.exp(-r*tau))
        M = Ai if j < smooth else A                   # 前几步全隐式=平衡步
        V[1:-1] = np.linalg.solve(M, rhs)
    return V

i0 = np.argmin(np.abs(x - np.log(S0/K)))
call = price(np.maximum(np.exp(x) - 1.0, 0.0))        # 看涨收益 max(S/K - 1, 0)
print("CN 数值:", round(call[i0], 4), " 闭式:", round(float(bs_call(np.array([S0]))[0]), 4))

dig_plain = price((x > 0).astype(float), smooth=0)    # 数字期权 不开平衡步
dig_smooth = price((x > 0).astype(float), smooth=4)   # 开四步全隐式平衡步
print("数字期权 普通CN:", round(dig_plain[i0], 5), " 含平衡步:", round(dig_smooth[i0], 5))
​

三组读数构成一份完整验收。欧式看涨：CN 与闭式解在千分位内重合——抛物机器在光滑收益上无可挑剔。数字期权不开平衡步：收益的阶梯在时间倒推中留下棋盘状振荡（4.2 的老病，Gibbs 的数值亲戚）；开四步全隐式平衡步（Rannacher 技巧）：振荡被阻尼，价格回到正确量级——收益函数的光滑度决定格式策略，与 4.5 谱方法"光滑是燃料"的判据遥相呼应。行业里更优雅的路线是先解析磨光收益（用看涨期权的线性组合逼近任何收益，即 Carr–Madan 分解），把棱角在进入格式之前先熨平——正则化思想（5.3）在定价里的又一现身。

⚠️ 常见坑：在 S 坐标直接差分会遇到系数随格点变化的烦恼与负值振荡，标准做法是先换 ln S 坐标再离散——坐标变换把变系数方程化成常系数，花小钱买大稳。2.1 与 3.2 反复预告的"先换坐标"在金融现场依然是第一动作。

本节要点

• 对冲推出方程：无套利加伊藤公式得 Black-Scholes，判别式为零的抛物型，终值问题倒着演化；
• 化归热方程：换对数坐标加时间翻转，变装成常系数热方程，闭式解由热核演化读出；
• 定价即对冲：方程对 S 的偏导就是对冲比率，希腊字母全是偏导数；
• 棱角考验格式：数字期权的阶梯收益引发 CN 振荡，平衡步或解析磨光修复；
• 定性原理上岗：极值原理的单调性检验是免费的格式体检。

最后一站回到像素世界：把照片当温度场，扩散方程去噪——保边与抹平的矛盾如何用"各向异性"化解，正则化与扩散如何在同一个泛函里会师。