4.1 代数数据类型与模式匹配：非法状态不可表示

4.1 代数数据类型与模式匹配：非法状态不可表示

本节摘要：代数数据类型（ADT）是函数式类型系统的积木厂：和类型表达"几选一"，积类型表达"几合一"，名字里的"代数"名副其实——类型之间真的可以做加法与乘法，且运算规则与数学一致。本节讲清两种类型的构造与消耗（模式匹配），并以一次真实建模演示函数式的招牌能力：把非法状态设计成编译不过的代码。

从一个"代数"名不副实的疑惑开始

第一次听说"代数数据类型"，多数人的反应是：这跟中学代数有什么关系？答案关系很大，而且值得先给结论：和类型（sum type）是类型的加法，积类型（product type）是类型的乘法，取值个数严格按加法与乘法计算。设一个类型可能的取值个数为它的"大小"：Bool 的大小是 2（True 或 False），Unit（空元组）的大小是 1。那么：

和类型  Either Int Bool     大小 = 大小Int + 大小Bool     —— 要么一个Int，要么一个Bool
积类型  (Int, Bool)         大小 = 大小Int × 大小Bool     —— 一个Int配一个Bool，组合枚举
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"要么 A 要么 B"是加法，"既要 A 又要 B"是乘法——这正是类型版的代数。这不是文字游戏：第 4.2 节会看到函子定律对代数运算成立，第 7 章的属性测试会利用"类型大小"自动生成用例。代数视角从今天开始就留在你的工具箱里。

一、和类型：把"几种可能"变成一等公民

和类型解决的问题日常到不能再日常：一个值"要么是 A 形态，要么是 B 形态"。命令式语言的传统应对是两件套——可空指针加错误码，两者的共同缺陷是编译器不知道它们可能"缺"，于是缺检查的责任落在每个调用者的自觉上。和类型把"可能缺"直接写进类型：

-- Haskell：Maybe 是最著名的和类型，标准库定义等价于
-- data Maybe a = Nothing | Just a
-- 读作：一个 Maybe Int 的值，要么是 Nothing，要么是 Just 某个Int

safeHead :: [a] -> Maybe a
safeHead []     = Nothing        -- 空表没有头，如实申报
safeHead (x:_)  = Just x

-- 调用方拿到 Maybe a，编译器强迫先"拆"再"用"：
greet :: [String] -> String
greet names = case safeHead names of
  Just name -> "你好，" ++ name
  Nothing   -> "你好，陌生人"
  -- 若删掉 Nothing 分支，编译直接报错：
  -- warning: pattern match(es) are non-exhaustive
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对比 Python 的 None：names[0] 在空表上抛异常，而类型签名 list[str] -> str 对此只字不提。信息在类型里的可见性，决定了检查是编译期的还是运行时的——这是和类型的第一价值。第二价值在"多形态业务对象"上更明显，本节末尾的真实建模会展示。

二、积类型与模式匹配：构造与消耗的对称

积类型把几个值"捆成一个"，对应大多数语言的结构体与元组，无需赘述；真正值得注意的是函数式的消耗方式——模式匹配（pattern matching）。它不是 switch 的换皮，本质区别有二：匹配的对象是数据的形状（构造器与结构），不只是取值；编译器执行穷尽性检查，漏一个形状就是编译错误。

-- 一个积类型与和类型的组合体
data UserInfo = UserInfo { name :: String, age :: Int }   -- 积类型：命名积

-- 和类型：三种形态的身份
data Identity = Guest                      -- 形态一：访客
              | Registered UserInfo        -- 形态二：注册用户（携带积）
              | Banned String              -- 形态三：封禁（携带原因）

-- 消耗：模式匹配穷尽三种形态
welcome :: Identity -> String
welcome Guest                = "欢迎试用"
welcome (Registered (UserInfo n _)) = "欢迎回来，" ++ n
welcome (Banned reason)      = "账号不可用：" ++ reason
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welcome 的三个分支一一对应三种构造器，漏写任何一个都编译不过。给 Identity 加第四种形态时，编译器会列出所有需要补分支的位置——类型系统的这项服务在重构时的价值难以估量：改了数据形态，所有消耗点被一次性点名，而不是等测试或生产环境慢慊暴露。

JavaScript/TypeScript 世界可以用"可辨识联合"逼近同样的能力，Python 3.10 的结构化模式匹配（match-case）配合 dataclass 也已到位：

from dataclasses import dataclass

@dataclass(frozen=True)
class Guest: ...
@dataclass(frozen=True)
class Registered:
    name: str
    age: int
@dataclass(frozen=True)
class Banned:
    reason: str

Identity = Guest | Registered | Banned      # 和类型：类型联合

def welcome(identity: Identity) -> str:
    match identity:
        case Guest():
            return "欢迎试用"
        case Registered(name=name):
            return f"欢迎回来，{name}"
        case Banned(reason=reason):
            return f"账号不可用：{reason}"
        # Python 的 match 不强制穷尽，需静态检查工具辅助——诚实地说，弱一档
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图：一次支付结果的代数建模——非法状态被排除

三、实战建模：支付结果

把上图的设计落成代码。需求：支付接口返回三种终态——成功、已退款（带原因）、未支付。布尔标志建模用 paid: bool, refunded: bool, reason: str 三个字段，可表示的状态有八种组合，其中五种毫无意义（未支付却带退款原因？）；和类型建模只允许三种值存在：

data PaymentResult
  = Paid { amount :: Double, txnId :: String }
  | Refunded { originalTxn :: String, why :: String }
  | NotPaid

-- 消耗：编译器保证三分支穷尽
describe :: PaymentResult -> String
describe Paid{amount = a}  = "已支付，金额 " ++ show a
describe Refunded{why = w} = "已退款：" ++ w
describe NotPaid           = "未支付"

-- 想构造非法状态？语法上不存在那条路：
-- bad = Refunded { originalTxn = 无, why = 无, paid = True }  -- 无处可写 paid
​

这就是"非法状态不可表示"（make illegal states unrepresentable）的完整含义：不是写运行时检查去捕获非法状态，而是把类型的构造空间收窄到只剩合法状态。变式练习：把"购物车（可能为空）、订单（必有至少一件商品）、空订单"三个概念用和类型重新建模，数一数布尔标志方案与和类型方案各自的可表示状态数——这道练习做完，你对第 7 章属性测试为何钟爱代数类型会有提前的体感。

本节要点回顾

• 代数名副其实：和类型是加法、积类型是乘法，取值个数严格按代数规则计算。
• Maybe 是最小和类型：把"可能缺"写进类型，检查从运行时提前到编译期。
• 模式匹配的两个本质：匹配数据形状（构造器）而非取值；穷尽性检查让漏分支变成编译错误。
• 非法状态不可表示：收窄构造空间，让布尔标志方案的五种陷阱组合根本造不出来。
• 改形态即点名：数据类型加形态时，编译器列出全部待补分支，重构安全网由编译器充当。

类型造好了，接下来解决"容器里的值怎么变换"：函子与应用函子——第 3 章 map 思想在类型层面的完整形态。