1.1.2 可测函数与积分

文档摘要

1.1.2 可测函数与积分在概率建模与随机过程的实际工程实现中，我们常常面对一个看似平凡却暗藏锋芒的问题：当模型输出不再是简单的数值，而是依赖于不可数事件空间的“规则映射”时，如何定义它的“平均行为”？比如，金融高频交易系统中，某策略的瞬时盈亏不是离散时间点上的样本均值，而是在跳变密集、波动非平稳的路径空间上定义的累积收益；再如，图像生成模型中，扩散过程的每一步更新并非独立同分布采样，而是受前序连续状态驱动的条件期望——这些都不是黎曼积分能稳健刻画的对象。它们呼唤一种更本质、更鲁棒、更具构造性的数学语言：可测函数与勒贝格–斯蒂尔切斯积分。