3.1 曲率张量的来历

3.1 曲率张量的来历

摘要：黎曼曲率张量 R^l{}_{kij} 由二阶协变导数的交换子定义，坐标上是「克氏符号导数与克氏符号乘积」的组合，几何上是平行移动绕无穷小回路的偏转率。本节完成定义到分量的推导，列出对称性清单，手算球面全部非零曲率分量，并与第一章的角盈测量核账，最后用代码复核。

从一个未结清的账目说起

第 2.3 节末尾留下了一张预约单：\nabla_i \nabla_j \omega_k - \nabla_j \nabla_i \omega_k 展开后偏导项全部对消，幸存一份只依赖联络的组合项。本节的任务是把这份组合项验明正身、命名归档。先给定义，再推导，最后测量——这是本章固定的作业节奏。

定义（交换子形式）：对任意 (0,1) 型张量 \omega，

上式右边对 \omega 是线性的，所以 R^l{}_{kij} 是良定义的 (1,3) 型张量——这步论证值得停一秒体会：交换子的「差」把联络的非张量部分（二阶导项）全部对消，只留下张量性的净残余。空间弯曲与否、弯多少，全部记在这份净残余上。

坐标分量：展开与读法

把两个协变导数逐项展开（过程机械但长，结论必须自己亲手核过一次）：先算 \nabla_j \omega_k = \partial_j \omega_k - \Gamma^m_{jk}\omega_m，再对结果套第二次协变导数，交换 i, j 次序相减。凡含 \partial_i \partial_j \omega 的项成对抵消，凡含 \Gamma\, \partial\omega 的项也成对抵消，剩得

读法三句口诀：导数差 + 乘积差；指标 l 是记账分量，k 是被搬对象的口，i, j 是两个求导方向（即回路的两个边方向）。几何身份：取一点处由 i, j 两个坐标方向张成的无穷小平行四边形，边长 \varepsilon，把一个向量沿边界搬运一整圈，偏转角的主项是 \varepsilon^2 R^l{}_{kij}——曲率张量就是单位面积回路的搬运偏转密度。第二章球面回路偏转九十度的实验，此刻有了精确的局部化版本。

对称性清单：四阶张量的六折账

R 有 n^4 个分量，二维就有十六个，三维八十一个——直接搬运这个四阶怪物既不现实也无必要。幸好它自带六条刚性对称性：

一、前二指标反对称：R^l{}_{kij} = -R^l{}_{kji}（交换两个求导方向，差变号，来自定义）；二、全协变版 R_{lkij} = g_{lm}R^m{}_{kij} 对前一对与后一对指标分别反对称；三、前对交换后对的对称：R_{lkij} = R_{ijlk}；四、第一比安基恒等式：R_{lkij} + R_{lijk} + R_{ljki} = 0（三轮换求和为零）；五、里奇恒等式（比安基微分恒等式，第 3.2 节用到）：\nabla_m R_{lkij} + \nabla_i R_{lkjm} + \nabla_j R_{lkmi} = 0；六、对二维流形，全部信息坍缩成一个数（高斯曲率乘度量）。

清单的效果立竿见影：二维十六个分量里独立分量只剩一个；n 维独立分量数降到 \tfrac{n^2(n^2-1)}{12}。对称性不是装饰，是把四阶怪物压到可搬运尺寸的第一道工序——第二道工序（截面曲率与里奇）下一节接着做。

曲率的几何身份卡

球面曲率全套手算

把第 2.2 节的克氏符号台账代入分量公式。球面非零符号仅两类：\Gamma^\theta_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta 与 \Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = \cot\theta。

计算 R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}（l=\theta，k=\varphi，i=\theta，j=\varphi）：

逐项：第一项 \Gamma^\theta_{\theta\varphi} = 0，导数仍为零；第二项 -\partial_\theta(-\sin\theta\cos\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta；第三项取 m=\varphi 得 \Gamma^\theta_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = (-\sin\theta\cos\theta)(\cot\theta) = -\cos^2\theta；第四项取 m=\varphi 得 -\Gamma^\theta_{\theta\varphi}\Gamma^\varphi_{\varphi\varphi} = 0。合计：

（符号约定警示：不同教材交换 i,j 定义相差一个负号，本书统一用上式；若查表发现符号相反，先对定义再对答案。）

降指标得对称版：R_{\theta\varphi\theta\varphi} = g_{\theta\theta} R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi} = -\sin^2\theta。

二维坍缩公式：二维时 R_{1212} = K\, (g_{11}g_{22} - g_{12}^2) = K \det(g)，于是

核账一（与高斯公式）：单位球面高斯曲率为 1，与坍缩公式吻合。核账二（与回路实验）：第 2.1 节球面直角三角形回路偏转 \tfrac{\pi}{2}、面积 \tfrac{\pi}{2}，偏转率 \tfrac{\pi/2}{\pi/2} = 1 = K，逐笔对上。核账三（与角盈定律）：第 1.1 节角盈 = K \times 面积，同一律再次显形。三条独立路径——分量公式、回路实验、角盈定律——给出同一个数，这是本册最值得回味的一次三重验算。

代码复核

from sympy import symbols, sin, cos, Matrix, simplify, Rational

th, ph = symbols('theta varphi', positive=True)
g = Matrix([[1, 0], [0, sin(th)**2]])
ginv = g.inv()
coords = [th, ph]

# 克氏符号（复用 2.2 节流程）
G = {(k,i,j): simplify(sum(ginv[k,l]*(g[l,i].diff(coords[j])
        + g[l,j].diff(coords[i]) - g[i,j].diff(coords[l]))
        for l in range(2))/2)
     for k in range(2) for i in range(2) for j in range(2)}

# 曲率分量 R^l_{kij}
def R(l, k, i, j):
    expr = G[(l,i,k)].diff(coords[j]) - G[(l,j,k)].diff(coords[i])
    for m in range(2):
        expr += G[(l,j,m)]*G[(m,i,k)] - G[(l,i,m)]*G[(m,j,k)]
    return simplify(expr)

Rtptp = R(0,1,0,1)                     # R^theta_{varphi theta varphi}
K = simplify(-Rtptp/g.det())           # 二维坍缩公式（含符号约定）
print(Rtptp)      # 输出: -sin(theta)**2
print(K)          # 输出: 1
​

机器确认：唯一非零的独立分量、坍缩后的高斯曲率，与手算一致。把度量换成任意旋转曲面，同一段代码直接产出其曲率——第四节的三曲面实验将反复调用它。

本节要点回顾

• 定义即测量：交换子残余定义为 R^l{}_{kij}，几何读数是单位面积回路的搬运偏转密度；
• 分量公式：克氏导数差加克氏乘积差，四个指标各司其职；
• 六条对称性把 n^4 个分量压到 \tfrac{n^2(n^2-1)}{12} 个独立分量，二维坍缩为一个数；
• 球面验算三重对账：分量公式、回路偏转率、角盈定律给出同一个 K=1；
• 符号约定要备案：教材间 i,j 次序不同会差一个负号，对照文献先对定义。