第3章 光线求交与几何核心：钳工台
第 3 章 · 光线求交与几何核心
章节摘要：前两章把"为什么"和"算什么"讲清了，本章回到实验室的钳工台，解决"怎么撞得上"。光线追踪的一切计算最终都压到一个原子操作上：给定一条射线与一件几何，问它们相交吗、撞在哪、法线朝哪。本章两节分别是这台操作的数学面与工程面：3.1 手推三类基元的求交公式——球体用代入法、三角形用 Möller-Trumbore 算法、包围盒用平板法——每个推导都配有数值算例，算一遍就再也不会忘；3.2 讲场景如何组织成光线可查询的形态，以及求交之后那些容易被轻视却决定成败的细节：命中记录里该存什么、法线什么时候要翻向、自交的黑点从哪来、玻璃球为什么要记区间而不是记点。读完本章，你应当能徒手写出正确的求交函数，并识别出初学者实现里八成的数值 bug。
学习目标
完成本章后，你应当能够：
- 推导射线与球体的求交公式，并解释判别式小于零、等于零、大于零各自的几何含义；
- 写出 Möller-Trumbore 射线-三角形求交的完整步骤，说明重心坐标 uv 为什么顺带免费得到；
- 用平板法求射线与轴对齐包围盒的交区间，并解释"t_near 大于 t_far 则脱靶"为什么成立；
- 设计一份完整的命中记录结构，包含区间语义与实例标识，支撑透明体与实例化场景；
- 诊断三类经典数值问题：自交黑点、斜三角漏交、远端漏判，并给出各自的修正手段。
核心概念速览
金句先行：求交函数是全管线调用最频繁的代码，它错一个浮点位，整个画面塌一半——这里的每一行都要像钳工量具一样校准。
子章节导航
3.1 求交手推：球体、三角形与包围盒——三种形状代表三种解法风格。球体是"把射线方程代进曲面方程解一元二次"；三角形是"把交点验证问题变成解三元线性方程组"，Möller-Trumbore 的妙处在于解方程组的副产品恰好是重心坐标，法线插值与纹理采样的权重白送；包围盒是"不求精确交点，只求'有没有挡路'"，平板法的区间思想日后直接长成第 4 章 BVH 遍历的骨架。
3.2 场景表示与命中点处理——求交函数再正确，场景组织不当也白搭。本节上半场讲建模网格与相交网格的分工、实例化如何用"一份原型加多个变换矩阵"让千军万马共享内存；下半场接管原第 3.3 节的内容：命中记录的完整字段设计、面向性判断、法线翻向、区间语义（进点出点对）、以及 epsilon 防自交的工程惯例。
子章节之间的逻辑关系
两节是"算得准"与"管得住"的配对：3.1 交付可靠的原子操作，3.2 把原子操作组织成可查询的场景系统，并为命中结果定义数据契约。次序不能颠倒——不懂求交的数值陷阱，就理解不了为什么命中记录需要 tmin 偏移与面向标志；不懂场景组织，第 4 章的加速结构就没有挂靠点。
3.1 求交手推 3.2 场景与命中点 ┌───────────────┐ ┌───────────────┐ │ 球 代入法 │ 原子操作 │ 网格与实例化 │ │ 三角 MT算法 │ ──────→ │ 命中记录契约 │ │ 盒 平板法 │ │ 区间与防自交 │ └───────┬───────┘ └───────┬───────┘ │ 合流：一亿次每秒的调用 │ ▼ ▼ 第 4 章 加速结构：让求交从扫全场变成走树 第 6 章 路径追踪：每次弹跳都消费本章的命中记录
前置知识与后续延伸
需要的数学：向量叉乘的几何含义（面积与法向）、二元一次与三元一次方程组求解、一元二次方程判别式——都在本章内现推现用，不要求提前熟悉重心坐标。编程上，本章的伪码用最朴素的浮点运算写成，任何语言都能对照实现。
往后的挂靠点：第 4 章的 BVH 遍历把本章的平板法包围盒测试当作唯一的裁剪工具；第 5 章的材质计算完全依赖本章定义的法线与纹理坐标插值；第 6 章迷你路径追踪器的主循环就是"求交加命中处理"的重复调用；第 8 章硬件光追接口的字段设计——实例、基元、重心坐标——与本章 3.2 的命中记录一一对应，届时你会看到本节的结构体直接长在了显卡里。