2.2.2 Tor与Ext函子

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2.2.2 Tor与Ext函子我们来直面一个在代数拓扑、交换代数与表示论中反复叩击工程师神经的核心问题：当两个模之间“不兼容”时，如何量化它们的“失配程度”？不是用模糊的哲学语言，而是用可计算、可编程、可验证的数学对象——这正是 $\operatorname{Tor}$ 与 $\operatorname{Ext}$ 函子存在的根本理由。你可能已经熟悉：若 $R$ 是一个含幺交换环（比如 $\mathbb{Z},\, k[x],\, \mathbb{Z}[x,y]/(xy)$），$M$ 和 $N$ 是左 $R$-模，那么张量积 $M \otimesR N$ 是一个 $R$-模；