1.3 收益矩阵与博弈树

1.3 收益矩阵与博弈树

本节摘要：定义齐备之后，本节解决"怎么写下来"的问题。收益矩阵记录同时行动，博弈树记录先后行动；两种记谱法之间存在明确的互换规则与失效边界，信息集概念是那把钥匙。掌握本节，你就掌握了全书静态部分与动态部分各自的语言。

一、收益矩阵：同时行动的快照

正常形式（也叫策略型）用一个三元组描述博弈：参与者名单、每人策略集、收益函数。当参与者只有两人且策略有限时，收益函数可以画成一张二维表——行是参与者甲的策略，列是乙的策略，每个格子里填一对收益。这张表是一张"快照"：它假装所有人的决策在同一瞬间完成，谁也看不见谁的手势。

囚徒困境是标准示例。甲乙两名嫌疑人分开审讯，各自可选抵赖或认罪：

读表的方式要形成肌肉记忆：甲比较同一列里的上下两行，乙比较同一行里的左右两格。给定乙抵赖，甲认罪（释放）优于抵赖（1 年）；给定乙认罪，甲认罪（6 年）仍优于抵赖（9 年）。矩阵的用途正是支持这种"固定对方、扫描自己"的比较。

二、博弈树：先后行动的剧本

扩展形式把时间放回来。树由三类零件组成：决策节点（轮到谁了）、从节点伸出的分支（该参与者的可选行动）、终止节点（游戏结束，标注每个人的收益）。市场进入博弈是最小示例：潜在进入者先决定是否进入市场，在位者后决定是默许共存还是打价格战。画成树之后，分析方向与时间方向相反——从终局往根回推：在位者在"进入已发生"的节点上比较默许得 300 与价格战得 100，会选默许；进入者预判这一点，比较进入得 200 与不进入得 0，选择进入。这个回推操作就是逆向归纳，第三章的主题，这里只需要认出：矩阵做不了这件事，因为矩阵里没有"先后的承诺"。

图 1-2：同一情境的两种记谱对照

三、互换规则与信息集

两个方向的不对称必须分清。从树到矩阵总是可行的：把每个参与者在各信息集的行动组合打包成"策略"，矩阵立刻得到。从矩阵回到树却常常不行：同时行动博弈里的"策略"没有时间位置，硬画成树会凭空制造先后手，改变博弈本身。判断标准是信息集——树中若干被虚线圈起的决策节点，表示当事人分不清自己身处其中哪个节点。囚徒困境画成树时，乙的决策节点构成一个信息集（他听不见审讯室隔壁的声音）；市场进入博弈里，在位者的节点自己就是一个信息集（他看得见进没进来）。信息集是第三章"不完美信息"的种子，此处先认脸。

两种记法的选型口诀可以压成一行：问"谁出手时知道什么"。若所有人出手时都不知道他人当下的选择，用矩阵；若存在明确的先后且后手能观察先手，用树；两者混合（先签合同再同时定价）就分层画，先树后矩阵。

四、案例推演：把进入威慑写成两种记法

背景。一家连锁便利店考虑进入一条只有一家老店的小街。进入需前期投入 100；进入后若老店维持原价，两家平分利润各得 200；若老店发动价格战，进入者只剩 50，老店从 400 跌到 100。老店对外放话：敢来就打价格战。

操作。先写矩阵版本：老店的"价格战承诺"若只是放话，则进入者的矩阵只有"进入、不进入"两行、老店"默许、价格战"两列。再写树版本：进入者先动，老店后动且观察进入与否。回推树：在"已进入"节点，老店价格战得 100、默许得 200，选默许；进入者预判默许，进入得 200、不进入得 0，选进入。

结果。树版本的预测是"进入发生、价格战不发生"；矩阵版本若把老店的放话当真，可能得出"不进入"。两个记法给出不同结论。

解读。差异的根源是可信性：矩阵里"价格战"是一格承诺，树里它必须执行于"进入已成事实"的节点上，而在那个节点它已经无利可图。口头威胁撑不住回推检验——这就是 3.1 节将正式建立的子博弈精炼直觉，此处你已提前用肉眼看到了一次。

变式。若老店在进入前抢先投资一条自动补货线，价格战的成本从 300 降到 80，回推结论翻转，进入者留下；若进入者与老店在多个市场相遇，老店打一次价格战能在所有市场立威，重复互动再次改写结论。同一条小街，配上不同的时间与重复结构，就是第 3 章与第 6 章的导览片。

五、记法自查清单

写完矩阵或树之后，过一遍这份清单能拦住绝大多数记法事故。其一，策略与行动分清了吗：序贯博弈里"策略"必须覆盖所有信息集，写"如果进入则价格战"时，没进入分支的行动也要写全。其二，信息集画对了吗：同一信息集里的节点必须属于同一参与者，且他当时的观察完全一致。其三，格子读对方向了吗：甲总在列内比行，乙总在行内比列，混着读会把最优反应认反。其四，收益向量次序统一了吗：约定先甲后乙就全程不改，很多"悖论"只是两处次序不一致。其五，随机项写清归属了吗：自然行动的分支要标概率且概率和为一。

做一个两分钟的小练习把清单落地：把本节第四节的进入威慑改写成"老店先宣布价目表、进入者后决定"的版本。画树时你会发现信息集变了——进入者观察到价目表后再选，老店在"已进入"节点上不再需要信息集，而"承诺"的含义从口头变为可观察的结构。同一故事，两种树，预测不同：这就是记法不是排版，而是分析本身。

再做一步加固：给本节的第二种记法配上"行动树"的读法练习。取猜硬币博弈画一棵树——自然先给两枚硬币定面值，甲亮面，乙在不看甲动作的信息集里选面。树画完后问自己两个问题：乙的信息集里有几个节点（答案：两个，他分不清甲亮了哪面）；这棵树压缩回矩阵后与第 2 章的猜硬币矩阵是否一致（答案：一致，且信息集对应了"同时出手"的假设）。做完这个练习你会发现，矩阵与树不再是两种需要背的记号，而是同一情境的两种取景——一个掐掉时间，一个保留时间但把看不见的地方圈起来。

本节要点回顾

• 要点一：矩阵是同时行动的快照，支持"固定对方、扫描自己"的比较；树是先后行动的剧本，支持从终局回推。
• 要点二：树可以压缩成矩阵，矩阵通常还原不成树；判断钥匙是信息集——当事人分不清自己身在哪些节点。
• 要点三：选型口诀是问"谁出手时知道什么"，混合情境分层画。
• 要点四：进入威慑案例显示，同一情境在两种记法下预测可以不同，可信性问题藏在时间结构里。