2.1 纯策略与混合策略

2.1 纯策略与混合策略

本节摘要：本节是第二章的起点，解决"均衡长什么样"的问题。先学会用占优与劣策略剔除快速锁定确定结局，再面对确定策略无处可逃的情境——猜硬币式的博弈里，可预测本身就是损失，于是策略必须带上骰子。无差异条件是配平混合概率的万能钥匙，罚点球案例会把它完整走一遍。

第一章建好了记谱法，本节开始真正在矩阵上做分析：有些矩阵一眼见底，因为某格对一方是无论如何都不亏的选择；有些矩阵却让任何确定性选择都被人反制，唯一的出路是随机化。识别这两种局面，是全部静态分析的第一步。

一、占优与劣策略：先剔除再谈均衡

占优策略是这样一种选择：无论对手怎么做，它都比你的其他任何选择带来更高收益。囚徒困境里的认罪就是典型——对方抵赖，认罪更好；对方认罪，认罪还是更好。当所有参与者都有占优策略，博弈的结局毫无悬念，矩阵自解释。

更常用的工具是严格劣策略：对某参与者而言，无论对手怎么做，某策略都比另一策略收益更低——它就是该扔的废牌。反复剔除所有参与者的严格劣策略（简称反复剔除，英文缩写 IEDS），矩阵不断收缩；若最后只剩一格，这格就是唯一理性预测。要注意剔除的顺序不影响严格劣策略的结论，但会影响弱劣策略的结论——所以工程上只信赖严格剔除。

一个干净的小例子。甲有上、中、下三策，乙有左、右两策。给定乙出左，甲收益为上 4、中 2、下 1；给定乙出右，甲为上 0、中 2、下 1。甲的"下"在两种情形都不优于"中"（1 小于 2），被剔除；再看乙：给定甲出上，左 -3 右 -2；甲出中，左 2 右 0——乙的"右"两轮全输，被剔除；乙只剩左，甲在上与中之间选上（4 大于 2）。唯一解：甲上、乙左。没有用到任何均衡概念，纯粹的减法。

二、确定策略的陷阱：猜硬币的世界

可很多矩阵剔不动，也找不到互为最优反应的策略组合。最典型的是猜硬币：两人同时亮硬币，同面乙赢一文、异面甲赢一文。甲若总出正面，乙盯死正面；甲改总出反面，乙跟着换——任何确定性选择都会被针对。罚点球是同样的结构：射门方向完全被门将预判就是灾难，" 出其不意"不是花哨，而是数学上的必需。

出路是混合策略：按概率在多个纯策略间随机化。直觉上要"不可预测"，但均衡概率不是掷骰子随便定，而由一条精巧的条件锁死——无差异条件：在均衡中，让对手在你各纯策略之间的期望收益完全相同。道理在于，对手愿意随机化，恰恰说明他换哪个纯策略都一样好；若某个纯策略更赚，他就该全力押注那个，随机化即刻瓦解。你的混合概率不是为了让随机方自己满意，而是为了让对方"懒得动"，从而被冻在原地。

三、罚点球：把配平完整算一遍

背景。射手与门门将同时决策：射手选左路或右路，门将扑同侧或异侧。射手角度刁钻时进球率高：门将扑错必进，扑对侧时若射手打右路进球率八成、打左路仅五成——假设打右路是惯用脚更顺的射门。

操作。写成矩阵，格中数字是射手的进球期望（零和视角下门将收益取负）：

设门将扑左的概率为 q。射手射左的期望进球 = 0.5q + 1(1 − q) = 1 − 0.5q；射右 = 1q + 0.8(1 − q) = 0.8 + 0.2q。无差异条件要求两者相等：1 − 0.5q = 0.8 + 0.2q，解得 q = 2/7 ≈ 0.286。对称地，设射手射左概率为 p，门将扑左的期望失球 = 0.5p + 1(1 − p) = 1 − 0.5p，扑右 = p + 0.8(1 − p) = 0.8 + 0.2p，相等解得 p = 2/7。

结果。均衡是：射手以约 28.6% 的概率打左路，门将也以约 28.6% 的概率扑左路，射手均衡期望进球约 0.857。惯用脚的优势没有让右路占比变成九成，只把概率从一半拉到八分之二点八六——优势策略会被适度多用，而非用尽。

解读。三点值得咀嚼。其一，你的最优混合概率只取决于对手的收益，不取决于你自己的收益——这是无差异条件的推论，初学者最容易反过来。其二，1990 年代以来对五大联赛数千次点球的统计研究发现，职业球员的实际射门与扑救频率同理论配平相当接近，且历史数据检验不出可利用的规律性——顶尖选手用职业生涯实现了均衡。其三，若规则允许射手第三种选择（中路），配平方程组扩成三元，均衡概率整体重排——策略集每扩一维，全部概率都要重算，混合均衡是全局解而非局部微调。

变式。把门将扑对右侧时射左路的进球率改低到 0.9，重解得 q = 1/7：对手某个策略变得更强，你在对侧的使用率就该上调。把进球率换成钱、把门将换成竞争对手，同样的算式直接适用于促销时点选择与产品发布日避撞。

图 2-1：无差异条件的几何表达

四、程序验证与要点回顾

十行代码足以复演上面的配平，也方便你换参数做实验：

# 二乘二混合均衡：无差异条件数值解
# 射手收益矩阵 payoff[射手][门将]
payoff = {"射左": {"扑左": 0.5, "扑右": 1.0},
          "射右": {"扑左": 1.0, "扑右": 0.8}}

def mix_2x2(a, b, c, d):
    """求射手策略使门将无差异：p 射左
    a c 为门将扑左时射手两策略收益，b d 为扑右时"""
    # 射左期望 = 0.5... 这里直接解 1-0.5q = 0.8+0.2q 型方程
    # 通用式：门将在 p 下的期望相等 => p*a + (1-p)*c = p*b + (1-p)*d
    return (d - c) / (a - b - c + d)

p = mix_2x2(0.5, 1.0, 1.0, 0.8)   # 返回射手射左概率 0.2857
print(f"均衡射左概率 = {p:.4f}")
​

顺带一提随机化的现实装置：均衡要求的是"对手无法预测"，不必真掷骰子——职业选手靠节奏变化与身体假动作制造不可预测性，程序用伪随机数，采购部门用轮换表。真正的失败案例是伪随机可被推断的场景：对手一旦掌握你的历史序列，均衡概率再标准也会被针对，这解释了为什么高水平选手会刻意保留"无逻辑的手感"。

• 要点一：占优策略一步定局，严格劣策略反复剔除是首选减法，两者都失灵才谈均衡。
• 要点二：猜硬币类博弈里确定性选择必被反制，随机化是均衡的内在要求而非心理花招。
• 要点三：无差异条件是配平钥匙——你的均衡概率由对手的收益决定，直觉相反时以公式为准。
• 要点四：点球数据与理论配平的吻合，是博弈论预测力最著名的实证背书之一。