5.3 特征函数与超模性

5.3 特征函数与超模性

本节摘要：前两节把分法当作答案，本节追问更深的一层：收益结构的形状如何决定分法的性质。超模（凸）博弈——互补性强的联盟——有一个漂亮的定理：核必非空，且夏普利值必落在核里，公平与稳定自动兼容。机场跑道成本分摊是超模思想的百年经典，数据联盟估值案例则演示夏普利值的现代算法化应用。本节还附一段枚举代码，让你亲手感受夏普利值的计算代价。

一、超模博弈：互补性的正式名字

特征函数 v 满足超模性（也叫凸博弈条件），直观定义是：加入的伙伴越多，再拉一人时的边际贡献越大。形式化写法是对任意成员 i 与任意联盟 S 包含于 T：v(T 加 i) 减 v(T) 不小于 v(S 加 i) 减 v(S)。换句话说，边际贡献随联盟扩大而单调不减——成员之间互相放大价值，正互补占主导。反向的情形称次模，边际贡献递减，规模不经济或冗余占主导。

超模性带来三个层层递进的结论。其一，超模博弈的核必定非空——拆不动的分法一定存在，合作在结构上可锁定。其二，夏普利值必落在核内，公平账单自动通过稳定性检验，谈判者不必在"公道"与"安全"之间取舍。其三，核的边界可以用边际贡献的上下包络显式写出，可行域不需要解不等式组就能画出来。对次模博弈，情况反过来：夏普利值仍唯一，但可能落到核外（若核还在），分摊问题里公平与稳定的张力重新出现。

二、机场案例：一条跑道按谁的长短收费

机场费用分摊是超模博弈最古老的应用（1973 年利特尔柴尔德与欧文的论文）。三家航空公司使用同一条跑道：小机型需要 1000 米，中机型 1500 米，大机型 2000 米，跑道造价与长度成正比。特征函数取成本版：v(S) 是满足联盟 S 中最大机型所需的跑道成本。分摊问题：总成本 2000（按最大需求 2000 米建一条共用跑道）怎么摊。

操作。算夏普利值：枚举六种接入次序，每家按"我到来时迫使跑道延长了多少"付费。以大机型为例：首位到来贡献 2000；中首位后到来补 500；小首位后到来补 1000；其余次序类似，六序平均得大机型 1200。同法小机型 150，中机型 650，合计 2000。

结果。分摊方案 1200、650、150，恰好是"增量成本法"的结果：小家先铺 1000，中家加长 500，大家再加长 500，各自按自己造成的那段付费，再按次序平均掉先后运气。核约束也顺带满足：任何两家的分摊之和不超过两家合建的成本（例如大小两家合建需 2000，分摊和 1350 低于 2000，无人有另建动机）。

解读。超模性在这里的形态是"成本次模"：一起建比分开建便宜，边际成本随联盟扩大而递减——与收益超模互为镜像，定理照样保证核非空与夏普利值的稳定性。这套机制已写进多个机场的实际收费规则，也是 7.1 节机制设计里"预算平衡加激励"双目标能同时达成的少数场景之一。

变式。把跑道换成云计算的集群预留、冷链的干线共享、开源基础设施的联合资助，特征函数照写，夏普利值照算；参与者多到六家以上，枚举会爆炸，下面的代码演示这个代价，也演示蒙特卡洛近似的出路。

import itertools, random

def shapley_exact(v, n):
    """v: 字典，键为成员元组，值为联盟产出；n: 人数。精确枚举 n! 种次序"""
    total = {i: 0.0 for i in range(n)}
    for order in itertools.permutations(range(n)):
        s = ()
        for i in order:
            total[i] += v.get((s + (i,)), 0) - v.get(s, 0)
            s = s + (i,)
    return {i: total[i] / __import__("math").factorial(n) for i in range(n)}

def shapley_monte(v, n, samples=200000):
    """大 n 时的随机次序近似：误差以样本数平方根速度收缩"""
    est = {i: 0.0 for i in range(n)}
    for _ in range(samples):
        order = list(range(n)); random.shuffle(order)
        s = ()
        for i in order:
            est[i] += v.get((s + (i,)), 0) - v.get(s, 0)
            s = s + (i,)
    return {i: est[i] / samples for i in range(n)}

# 机场案例：成本按最大需求计，取负号转成收益分摊
cost = {(): 0, (0,): 1000, (1,): 1500, (2,): 2000,
        (0,1): 1500, (0,2): 2000, (1,2): 2000, (0,1,2): 2000}
v = {k: -c for k, c in cost.items()}          # 分摊负成本
print(shapley_exact(v, 3))                     # 约 -1200 -650 -150
​

三、案例推演：数据联盟的估值与分成

背景。三家医疗科研机构商谈组建联合数据集：甲持有影像数据，单独训练的模型价值 30；乙持有文本病历，单独价值 20；丙持有随访标注，单独价值 5。两两合并：甲乙 70，甲丙 45，乙丙 30；三家合并的模型价值 120。多模态互补极强，疑似超模。

操作。先验超模性：抽验边际贡献的单调性——丙加入甲的边际贡献是 45 − 30 = 15，丙加入甲乙的边际贡献是 120 − 70 = 50，15 小于 50，单调增，超模成立。再算夏普利值，以丙为例枚举六种次序：首位加入两序各贡献 5；第二位加入两序分别补 15 与 10；末位加入两序各补 50，合计 135，均值 22.5。同法甲为 30、30、50、40、90、90，均值 55；乙为 20、20、40、25、75、75，均值 42.5。三家合计 120，对上总账。

结果。按夏普利值分成 55、42.5、22.5。互补结构下，单独资产价值高的两家并不吃掉全部溢价——最终模型的价值主要由"合在一起"创造，末位加入的边际贡献主导了分成。

解读。夏普利值在数据要素场景流行起来的原因正在于它对互补性的公允：它不给"原始资产大"的一方全部溢价，而是按每个加入次序的增量计酬。它的现实障碍也在这段演算里暴露：联盟价值评估本身需要跑模型，且 n 家以上枚举不可行——蒙特卡洛近似加抽样验证是工程标配。监管与合规要点：特征函数里的"价值"必须由事先约定的评估协议冻结，否则 v 的数字本身会成为新的博弈对象——这是所有合作博弈落地时最常见的暗礁。

变式。若三家数据强相关（同源人群），合并价值不再超加，博弈滑向次模，公平分成与稳定分成开始打架，需要引入外部治理（第三方托管）来补核的空缺——互补结构决定治理结构，这是本节最重要的迁移结论。

本节要点回顾

• 要点一：超模是互补性的正式定义——边际贡献随联盟扩大而递增；次模是其镜像。
• 要点二：超模博弈核必非空且夏普利值必在核内，公平与稳定自动兼容；次模博弈两者可能冲突。
• 要点三：机场分摊演示成本次模的增量计费逻辑，已进入真实收费规则。
• 要点四：夏普利值的精确计算随阶乘爆炸，蒙特卡洛近似加冻结评估协议是数据联盟落地的工程底线。