6.1 有限与无限重复博弈

6.1 有限与无限重复博弈

本节摘要：本节把第 2 章的一次性矩阵原样复制多份连起来玩，结论却天翻地覆。有限次重复逃不出终点效应：最后一期人人背叛，倒推到第一期照样背叛。无限次（或没有人知道哪天结束）重复里，触发策略用未来的报复给今天的合作上保险，折现因子条件可代数求解；无名氏定理则揭示这套机制的威力与后遗症——几乎所有收益上说得通的结局都能成为均衡。巷口两家的价格战案例把全部计算走通。

一、终点效应：已知的最后一张牌必然砸锅

先把囚徒困境重复一百期，每期收益独立累加。用第 3 章的回推法看最后一期：没有明天，只有本期矩阵，背叛是占优选择。第一百期的背叛是共同知识，于是第九十九期的"合作换未来"无从谈起——本期背叛，往后的报复从已经注定背叛的部分里挤不出损失。回推逐期传染，第一期就背叛。这就是终点效应：确定的有限重复不能改变一次性博弈的均衡。

现实里合作却大量存在于"迟早会结束"的关系中。解释有两条。一是关系的终点不确定：只要每期以概率 p 延续，等效折现因子就是 p 乘时间偏好，博弈在数学上等价于无限重复——"不知道哪天散伙"与"永远不散伙"在激励上难以区分，这是本节全部结论的前提。二是参与者的行为偏离回推（3.3 节蜈蚣实验的老朋友）：实验里有限重复囚徒困境的前期合作率相当可观，终点临近才塌方，理性假设与真实行为的边界再一次显形。

二、触发策略与折现条件：合作的保费怎么算

无限重复的标准支撑机制是触发策略：从合作开始；只要无人背叛就继续合作；一旦有人背叛，从此永远回到一次性均衡（互相背叛）。合作值与背叛值可以精确算出来。设每期合作各得 R = 3，互相背叛各得 P = 1，单方背叛者当期得 T = 5、被背叛者得 S = 0。合作的终身现值 = 3 ÷ (1 − δ)；背叛的终身现值 = 5 + δ × 1 ÷ (1 − δ)（痛快一期，之后永堕均衡）。合作划算当且仅当 3 ÷ (1 − δ) 不小于 5 + δ ÷ (1 − δ)，整理得 δ 不小于 (T − R) ÷ (T − P) = (5 − 3) ÷ (5 − 1) = 0.5。一句话：只要未来至少值未来的一半，没人舍得砸锅。

以牙还牙（第一步合作，之后照抄对方上一期的动作）比触发温和：报复可以终止，错误可以原谅。它在计算机锦标赛里的夺冠故事（9.2 节 Axelrod 锦标赛）说明"善良、可激怒、宽容、清晰"四性质的成功组合，但它在噪音环境里有致命伤：一次误判引发循环互咬，两支以牙还牙的队伍在 1% 的误动作率下会把大量回合浪费在互相惩罚上——噪声越大，越需要宽容变体（如"以牙还牙加宽恕"）或触发式的确定性。

三、无名氏定理：合作可能，但挑选成了难题

触发逻辑的威力远超囚徒困境。无名氏定理说：在无限重复博弈里，只要折现因子足够接近一，任何"每期收益不低于一次性均衡水平"的可行收益向量都能成为均衡——不只合作，五花八门的分配、轮换、罚金安排统统可以。这是祝福：理论解释了行会规矩、商业信用、互惠网络的存在。也是灾难：均衡太多了，理论说不清实际落在哪一个。收尾这份解释责任的是三件历史性的东西——惯例（先例当聚焦点）、声誉（对手对你类型的怀疑，见 3.3）、以及制度（把某个均衡写进规则）。理解重复博弈的人不会问"合作为什么可能"，会问"这么多均衡里，为什么是这一个"。

图 6-1：合作可行域——折现因子划出的边界

四、案例推演：巷口双店的定价默契

背景。两家杂货店在同一条街对门经营，每期（一个月）各自定价：默契高价各赚 8000，价格战互咬各赚 5000，单方偷偷降价抢客者当期赚 12000、对方剩 3000。这是一次性的囚徒困境数字（R 等于 8000，P 等于 5000，T 等于 12000，S 等于 3000）。两家都在本街长住，社区关系稳定。

操作。套触发条件：δ 不小于 (T − R) ÷ (T − P) = (12000 − 8000) ÷ (12000 − 5000) = 4000 ÷ 7000 ≈ 0.571。若店主的时间偏好对应月折现 0.9（月息视角下下月利润很值钱），合作成立；换算成"预期共存期"——若每月有 95% 概率继续经营（搬迁、转行概率 5%），等效 δ ≈ 0.9 × 0.95 = 0.855，仍高于 0.571，默契价稳。

结果。现实中这类街市默契价确实常见，直到拆迁公告贴出：存续概率从 95% 跌到 50%，等效 δ 掉到 0.45，低于临界值——公告贴出当月，街市价格默契崩盘、互相砸价清库存。模型精确预言了崩盘的时点：不在物理关门日，而在"预期存续时长跌破临界"的那个月。

解读。三点迁移价值。其一，临界条件的分子是背叛诱惑、分母是未来分量——管理合作，要么降 T（让偷降价的价差变小，比如透明的价格公示），要么升 δ（加长合约期、提高转换成本、深耕社区）。其二，触发策略的"永世不得超生"过于狠辣，商人们实际用的是有期抵制（惩罚若干月后恢复），理论上有期惩罚在噪音环境下更稳健，且同样满足支撑条件。其三，无名氏定理的多重均衡病在此现形：高价默契与低价比拼都是均衡，落在哪一个由街区历史与先例决定——这也是为什么"新进入者"往往是价格默契的破坏者：他不在旧均衡的声誉网络里。

变式。若降价行为可以被立即发现（线上比价时代），惩罚当期生效，合作区扩大；若价格保密（大客户私下折扣），诱惑 T 变大而发现概率变小，临界 δ 上升，默契更难维持。信息流速是重复博弈里最值钱的参数——商业史上的信用中介（商会、评级、平台评分）本质上都是 T 与 δ 的改造器。

本节要点回顾

• 要点一：已知的有限重复因终点效应无法支撑合作，合作的舞台是"没有已知终点的重复"。
• 要点二：触发策略的支撑条件 δ 不小于 (T − R) ÷ (T − P)，分子是背叛诱惑，分母是未来的分量。
• 要点三：无名氏定理展示了重复机制的强大与含糊：一切可行且理性的收益向量皆可为均衡，挑选靠惯例、声誉与制度。
• 要点四：巷口双店案例演示了把存续概率折进 δ 的算法，并预言了"拆迁公告日即价格默契崩盘日"。