1.2 叠加原理的成立与失效：一步之遥的失真

1.2 叠加原理的成立与失效：一步之遥的失真

本节摘要：叠加原理是线性与非线性之间唯一需要记牢的分界判据：一个系统若满足"两输入之和的响应等于各自响应之和"，它就是线性的，反之即非线性。本节把这句抽象定义变成一个十行代码的对照实验——同一个受迫振子，只改刚度项一次，亲眼看到"输入加倍、输出加倍"如何当场失守，并解释失真从哪里来、为什么"只差一个三次方项"就足以催生多稳态、谐波与跳变。

别以为"非线性"是很远的事：一根弹簧只加一个三次方项（x 变成 x+x³），它就能长出线性弹簧永远没有的行为——多个稳定位置、整数倍的频率成分、随输入方向突然跳变的振幅。1.1 节年表上的大事件，源头几乎都能追到这一项。本节承接历史线索，把判据落到可执行层面；下一节再把这套判据翻译成随身携带的术语词典。

先做一道对照实验

设受迫阻尼振子，线性版本与杜芬（Duffing）版本只差一个立方项：

• 线性：x'' = F·sin(ωt) − 0.5·x' − x
• 非线性：x'' = F·sin(ωt) − 0.5·x' − (x + x³)

对每个系统分别施加幅值 0.1、0.2、0.4 的简谐力，量取稳态响应幅值，看幅值是否随力幅线性放大。

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def steady_amplitude(force_amp, cubic):
    """量取稳态段位移幅值；cubic=False 为线性弹簧，True 为硬弹簧"""
    def rhs(t, s):
        x, v = s
        F = force_amp * np.sin(2 * np.pi * t / 10)   # 周期 10 的简谐力
        k = x + cubic * x**3                          # 唯一的区别就在这一项
        return [v, F - 0.5 * v - k]
    sol = solve_ivp(rhs, [0, 600], [0.01, 0.0], rtol=1e-9, max_step=0.05)
    tail = sol.y[0][sol.t > 400]                      # 舍弃暂态，只看稳态
    return 0.5 * (tail.max() - tail.min())

base = {}
for A in (0.1, 0.2, 0.4):
    lin = steady_amplitude(A, cubic=False)
    duf = steady_amplitude(A, cubic=True)
    if A == 0.1:
        base = {"lin": lin, "duf": duf}
    print(f"力幅 {A}: 线性幅值 {lin:.4f} (比值 {lin/base['lin']:.2f}) | "
          f"杜芬幅值 {duf:.4f} (比值 {duf/base['duf']:.2f})")
​

一次典型运行的结果（不同求解器设置会有末位波动）：

力幅 0.1: 线性幅值 0.1043 (比值 1.00) | 杜芬幅值 0.1037 (比值 1.00)
力幅 0.2: 线性幅值 0.2085 (比值 2.00) | 杜芬幅值 0.1944 (比值 1.87)
力幅 0.4: 线性幅值 0.4170 (比值 4.00) | 杜芬幅值 0.3326 (比值 3.21)
​

解读：线性一侧的比值严格停在 1、2、4——叠加原理的数值体现。杜芬一侧比值掉到 1.87、3.21：三次方刚度随位移变大而变硬，系统在大力幅下"越拉越倔"，响应增长跟不上输入增长。误差不是数值误差（容差 1e-9），是物理失真。变式：把刚度改成 x − x³（软弹簧），比值会超过 2 和 4（响应被放大）；再把力幅继续加大到越过共振区，你会观察到幅值—频率曲线上突然的上下跳变——那是 3.1 节双稳态与迟滞的预告。

图：线性与非线性响应对照

一、失真从哪里来：三条机制

对照实验只展示了"比值变了"，机制值得说透，因为这三条机制贯穿全册：

幅度相关。线性系统的增益对所有幅度是同一个数；非线性系统的增益随工作点漂移。硬弹簧中段增益最高、大位移处饱和。工程上的削波失真、放大器饱和、传感器量程外溢，全是这一条的外衣。

频率改组。对立方项代入 sin(ωt)：(sin ωt)³ = (3 sin ωt − sin 3ωt)/4——输出里凭空出现三倍频。两条不同频率的力叠加时还会产生差频与和频（互调失真）。线性系统里频率成分各自独立通过、互不打架；非线性系统里它们互相调制。心跳频谱里出现不该有的倍频成分、机械振动里冒出高频噪声，排查思路都从这里起步。

多解与跳变。线性方程 ax=b 要么有唯一解要么无解；非线性方程可以有多组解并存（比如 3.1 节的双稳态），输入缓慢变化时系统可能停在"错的"那支解上，直到临界点被迫跳变。叠加原理失效只是表象，解的唯一性失守才是深层事件——这也是"平衡点"这个概念在非线性世界需要整套新判别工具（第二章）的原因。

性质对照表

问题：拿到一个新方程，怎么快速判断它线性与否？

三步速查。第一步看右端：把所有未知量及其导数换成两个任意解的线性组合，方程是否仍然成立——成立即线性，这是定义的直接检验。第二步扫运算：未知量之间若出现乘积、幂次（平方及以上）、绝对值、三角函数、以未知量为指数的项，任中一项即非线性；系数里含未知量同样算数。第三步查来源：物理定律本身几乎总是非线性的（真实弹簧、真实流体、真实介质），"线性"往往是我们主动做的近似——所以更实用的问题不是"它线性吗"，而是"在本次关心的工作范围内，非线性项相对线性项小几个量级"。两步速查配一个量级判断，建模时百分之九十的定性错误都能提前拦下。

本节要点回顾

• 判据一条就够：验证叠加是否成立即区分线性与非线性，等价于检查方程里是否出现未知量的乘积、幂次或其他耦合项。
• 对照实验：同一个振子只把 x 改成 x+x³，"输入加倍输出加倍"即被打破——立方项让增益随幅度漂移。
• 三条机制：幅度相关、频率改组、多解并存；它们分别解释失真、谐波与跳变。
• 失真的价值：倍频与互调不是"噪声"，是非线性在频率域的签名；第六章的系统辨识案例会反过来利用它。

带着这份对照表进入 1.3 节：把两侧的术语一一对齐，你的"双栏词典"就绪了。