2.4 平衡点稳定性两种判法：线性化对李雅普诺夫函数

2.4 平衡点稳定性两种判法：线性化对李雅普诺夫函数

本节摘要：定义先行——判稳定性有彼此独立的两把尺子：线性化判法在平衡点处把方程"削直"，用雅可比特征值的实部符号下结论，便宜但只在双曲点可靠；李雅普诺夫直接法构造一个"广义能量"函数，看它沿轨道是否单调下降，难构造但能绕开解方程、给出全局结论。本节用单摆把两把尺子各用一次，标明各自的势力范围。

本节上承 2.3 的相平面定型步骤（那里"第二步"用的就是线性化），现在把两种判法摊开对齐——这是本教程稳定性轴的主对照，第三章判断吸引子、第六章分析工程事故，都会回到这里的分工表。

判法一：线性化——削直了看

在平衡点 x* 附近把 f(x) 泰勒展开、只留一次项，得到线性系统 ξ' = Jξ，J 是雅可比矩阵。判据干净利落：J 的特征值实部全负，x 渐近稳定；有一个实部为正，不稳定*。2.1 节的单摆计算就是全流程：悬垂点特征值实部 −0.25，稳定焦点；倒立点特征值一正一负，鞍点。

这套判法有严格背书：哈特曼-格罗布曼定理保证，只要 x* 是双曲的（特征值实部全不为零），非线性系统在平衡点附近的轨道结构与线性化系统拓扑等价——"削直"没有削掉本质。它的边界也在这句话里：非双曲处定理沉默。特征值出现纯虚（中心）或零（鞍结点情形）时，线性化给不出结论，甚至给出误导——线性化说"中心、临界"，真实系统可能衰减、可能起振，取决于被扔掉的高次项。第三章的霍普夫分岔正是利用这个"沉默点"诞生的。

判法二：李雅普诺夫函数——造个能量看涨跌

第二把尺子完全不削直、也不解轨道：若能找到一个函数 V(x)，在平衡点取最小值、在其他处为正，且沿方程的轨道 V 不增（V̇ = ∇V · f ≤ 0），则平衡点稳定；若 V 严格降（V̇<0），渐近稳定。直觉是"有座只出不进的山谷，球必然待在谷底"。

单摆是无代价的标准练习。取总能量 V = ½ω² + 1 − cos θ（动能加势能，悬垂点处为零、其余为正）。代入方程算时间导数：

• 无阻尼：V̇ = ω·ω' = ω(−sin θ) + sin θ·ω = 0——能量恒定，V 只能停在等能线上，悬垂点稳定（但非渐近稳定：扰一下不会回来，只会永远绕圈）。
• 有阻尼（θ'' = −sin θ − c·ω）：V̇ = ω(−sin θ − cω) + sin θ·ω = −c·ω² ≤ 0——能量单调流失。V̇=0 只在 ω=0 处成立，借助拉萨尔不变集原理可以下结论：轨道最终停在最大的不变集 {ω=0 且 sin θ=0} 中稳定的一支，即渐近稳定到悬垂点。

线性化在无阻尼情形只敢说"临界"，李雅普诺夫函数却给出了确定答案——两种判法的势力范围差异，这一个例子就演示完了。

数值验证

能量单调性可以随手验证，三行核心：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

c = 0.5
def pend(_t, s):
    theta, omega = s
    return [omega, -np.sin(theta) - c * omega]

sol = solve_ivp(pend, [0, 20], [2.5, 0.0], rtol=1e-10, dense_output=True)
ts = np.linspace(0, 20, 200)
V = 0.5 * sol.sol(ts)[1]**2 + 1 - np.cos(sol.sol(ts)[0])
print("能量差分全为非正:", bool(np.all(np.diff(V) <= 1e-12)))
print("末能量/初能量:", round(V[-1] / V[0], 5))
​

典型输出：能量差分全为非正: True、末能量/初能量: 0.0——摆最终停在悬垂点，能量归零。变式：把 c 改回 0，差分检查立即变为全零而非负——李雅普诺夫稳定但永不停摆，与解析结论一致。

两种判法对照表

⚠️ 常见坑：线性化判出"中心"不等于系统稳定。无阻尼线性振子是中心，真实物理多少带阻尼或非线性频移；把"临界"当"安全"是电力系统与结构工程里出过真事故的误读。线性化沉默时，必须请第二把尺子。

💡 关键直觉：两把尺子是互补而非竞争——线性化便宜，先扫一遍把双曲点分好类；剩下的沉默点（中心、零特征值）逐个动用李雅普诺夫函数。流水线顺序别颠倒。

造李雅普诺夫函数的三条经验路线

构造没有万能公式，但有三条常走的路。路线一，物理能量：力学与电路系统优先写总能量（动能加势能、磁场加电场能量），本节单摆就是这么做的，多数偏保守的系统一次成功。路线二，守恒量组合：把已知守恒量或"类守恒量"做加权组合与平方叠加，负定项常在组合后现形，控制理论里的二次型函数 V = xᵀPx 是它的代数版。路线三，梯度流专用：若向量场恰好是某个势函数的负梯度，势函数本人就是李雅普诺夫函数，4.2 节双井模型的 V(x) 即属此类。三条路都走不通时，退回线性化并把结论老实标注"仅双曲点有效"——诚实的沉默好过编造的函数。顺带交代与控制的接口：设计视角下，李雅普诺夫函数从"判稳工具"升级为"设计目标"——先选定想要的 V，再反推控制律，这是现代非线性控制的主干思路。

本节要点回顾

• 线性化：特征值实部定生死，哈特曼-格罗布曼定理担保双曲点情形；非双曲点沉默。
• 李雅普诺夫直接法：构造正定 V、验证 V̇ 不增即得稳定，能处理线性化失效的所有情形；构造靠经验（能量、守恒量是首选）。
• 单摆双判：无阻尼时线性化说临界、能量法说稳定不渐近；有阻尼时能量法配合拉萨尔原理给出渐近稳定。
• 工作流：先线性化扫全场，再对沉默点逐个造 V——这套流程在第三章遇到分岔点时是标准开局。

稳与不稳定了案，下一节处理最后一个分区问题：这套系统保不保守——相空间的体积守不守恒。