4.2 观测器设计：状态测不到怎么办

本节摘要：观测器是一份跑在控制器里的实时模型，用"预测、比对测量、按增益修正"三步循环重构测不到的状态；可观性决定它能否成立，分离原理保证观测器与状态反馈可以独立设计。本节构建全维与降维观测器，讨论极点取快的利弊与噪声敏感性。

承接 4.1 节：极点配置要求全部状态可用，而传感器往往只给一两个量。本节补上缺口，并把 4.1 节的增益与观测器拼成完整的输出反馈控制器。

一、观测器的思想实验

想知道摆杆的角速度但没装速率陀螺，怎么办？在控制器里放一份摆的模型，喂给它同样的控制量，让它自顾自演化——这是预测。它报出来的摆角与真传感器读数隔一会儿对一次账，模型报高了几何就往回修几个单位——这是修正，修正的力度由观测器增益 L 决定。这套循环跑起来，模型里的状态就会紧紧咬住真实状态，即使真值从没被直接量测过。

数学结构一行写完：估计状态的导数等于 A 乘估计加 B 乘输入，再加 L 乘（真实输出减估计输出）。定义估计误差为真实减估计，两式相减，误差方程的矩阵是 A 减 L 乘 C。让这组特征值全部落在左半平面深处，误差就指数收敛——观测器设计本质上是给对偶系统做一次极点配置。

可行性的前提叫可观性：由输出在一段时间内的记录能唯一反推全部初始状态。判据是可观性矩阵（C、CA、一直到 C 乘 A 的 n 减 1 次方纵向拼接）满秩。直觉：某个模态若在输出里毫无痕迹，再多测量也读不出它。可观性与可控性互为对偶——把 A 取转置、B 与 C 互换，两套理论完全镜像，所以 place 命令可以原样复用。

二、全维观测器实战

继续倒立摆，传感器只测小车位置。先体检可观性，再造观测器：


M = 0.5; m = 0.2; l = 0.3; g = 9.8; p = m/(M+m);
A = [0 1 0 0; 0 0 -p*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 (M+m)*g/(M*l) 0];
B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)];
Cm = [1 0 0 0];
rank(obsv(A,Cm))
% 输出：4。可观，观测器可任意配置估计误差极点

pobs = [-8+8i -8-8i -10+10i -10-10i];     % 估计误差极点，比闭环极点深约2倍
L = place(A', Cm', pobs)'                  % 对偶系统配置再转置回来
% 输出（近似）：L 为 4乘1 列向量，分量约 [25, 240, -1700, -7600] 量级
eig(A-L*Cm)
% 输出：等于 pobs，估计误差按 e 的负8t 量级收敛，半秒内咬合

观测器极点要比闭环极点深（两到五倍经验值）：估计跟不上，控制器就在用过期地图开车。但也不能无限深——增益 L 随极点深度急剧增长，测量噪声被放大。噪声大、传感器便宜的场合深极点可行；编码器量化明显时必须收敛野心。做个对比感受：


for depth = [8 14 20]
    L2 = place(A', Cm', depth*[-1+1i -1-1i -1.2+1.2i -1.2-1.2i])';
    fprintf('极点深度%2d: 观测器增益范数 = %.0f\n', depth, norm(L2));
end
% 输出（近似）：
% 极点深度 8: 增益范数 = 8e3 量级
% 极点深度14: 增益范数 = 8e4 量级
% 极点深度20: 增益范数 = 8e5 量级
% 每深一点，噪声放大十倍量级地恶化，快与静不可兼得

三、分离原理与拼装

增益 K 与观测器 L 分开设计、直接拼装，闭环仍稳定——这是分离原理的恩惠。证明思路一行：把估计误差增广进状态，增广系统的特征值恰好是 A 减 BK 的特征值并上 A 减 LC 的特征值，两组互不纠缠。工程意义巨大：4.1 节的极点配置流程原样保留，本节的观测器独立调完，接起来就是完整的输出反馈控制器。拼装与验证：


K = place(A,B,[-4+4i -4-4i -6+6i -6-6i]);   % 4.1节的控制增益
% 状态观测器型控制器的等效传函（控制器从 y 到 u）：
Areg = A - B*K - L*Cm;
Creg = K;
reg = ss(Areg, L, Creg, 0);                  % u = reg * y（负号约定看接口）
% 整体闭环仿真：初值给估计一个错误起点，看它咬合
x0 = [0.1; 0; 0.15; 0];   e0 = [0;0;0;0];    % 真实摆角偏0.15，估计从零开始
syscl = feedback(ss(A,B,Cm,0)*(-reg), 1);    % 符号按负反馈约定拼接
initial(ss(A-B*K-L*Cm+L*Cm, [B L], eye(4), 0*[0 0]), [x0; e0]);
% 输出：前半秒估计误差快速衰减，随后真实状态被压回零，
% 摆角曲线与全状态反馈情形几乎重合——分离原理的实验证据

四、降维观测器

已经测到的状态何必再估？把状态分成"直接测得"与"待估"两块，只对后者建观测器，阶数从四降到三，这就是降维观测器（吕贝格观测器）。收益是计算量小、少一级估计延迟；代价是推导繁琐、测量噪声直接进入控制回路（测得的量不经滤波直接用）。现代计算硬件下全维观测器的算量已不值一提，工程默认选全维：推导清晰、估计还顺带滤了波，降维只在算力紧张的嵌入式端保留价值。

调试观测器的现场手法：先断开控制回路，给模型与实物同一输入，只看估计误差衰减曲线；误差不收敛先查模型参数（最常见是 B 或 C 的符号单位错），再查可观性秩。观测器故障九成是模型与实物对不上账，而不是 L 算错。

图观测器三步循环

五、观测器的对偶与仿真验证习惯

对偶性不只是理论雅致，它省掉一半学习量：观测器增益 L 的设计就是转置系统的极点配置，本章 4.1 节的全部流程转置即用。仿真验证观测器的固定习惯是双轨对照：同一段输入同时喂真实对象与观测器，画两条状态轨迹的差——误差按观测器极点的速率收敛，图上看得见摸得着；误差不收敛时，先核对模型参数再怀疑算法，这条排查顺序能省下大半调试时间。

本节要点回顾

观测器本质：内置模型的预测-比对-修正循环，误差动态由 A 减 LC 决定；
可观性：可观性矩阵满秩是可行前提，与可控性对偶，place 命令转置复用；
极点选深：比闭环深两到五倍防过期地图，增益与噪声放大随深度陡增；
分离原理：控制增益与观测器独立设计直接拼装，两组特征值不纠缠；
工程默认全维：降维省算力但噪声直通，仅嵌入式紧算力场景保留。

状态有了、观测有了，下一节把"选极点"这个人为动作也升级：定义代价，让数学找最优。

作者与出处

原作者：灏天文库

来源：灏天文库

整理：灏天文库整理

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