4.2 Transformations (坐标变换)

4.2 Transformations 坐标变换

本节摘要：坐标变换是 Matplotlib 把数据点送到屏幕上的那条管道。同一个点，在数据坐标里是一对原始数值，在轴坐标里是相对子图的百分比，在图形坐标里是相对整张画布的百分比，最后在显示坐标里才变成一个真正的像素。四套坐标系各有各的用途，变换对象负责在它们之间换算。本节先讲清这四套坐标系的区别，再讲 Affine2D 的平移、缩放、旋转、剪切怎么用，最后落到组合变换的顺序问题——这是最容易翻车的地方。

上手前先明确

阅读完本节，你应当能够：

1. 说清数据坐标、轴坐标、图形坐标、显示坐标各自的基准与用途。
2. 用 transData、transAxes、transFigure 把对象定位到正确的坐标系。
3. 用 Affine2D 做平移、缩放、旋转，并解释各方法的意义。
4. 说明组合变换中加号运算的顺序规则，以及顺序不同结果为何不同。
5. 判断什么时候该用轴坐标或图形坐标定位，而不是死磕数据坐标。

一、一个点，四套坐标

画图时你给的 (x, y) 是数据坐标——它跟你数据的量纲一致，横轴是年份、纵轴是销售额，那 (2020, 300) 就是字面意思。但屏幕不认识"2020 年"，屏幕只认识像素。从 (2020, 300) 到屏幕上的那个亮点，中间要经过不止一次换算。

Matplotlib 把这些中间态整理成四套坐标系。我用"地图"来类比：数据坐标是"经纬度"，说的是真实世界的位置；轴坐标和图形坐标是"这张纸上的相对位置"，说的是在纸的百分之几处；显示坐标是"印刷机的墨点"，说的是最终落在哪个像素上。同一件事，四个说法。

先看一张变换链的全景图：

图：数据坐标到像素坐标的变换链

注意最后一步：图形坐标到显示坐标，不是简单的比例换算，还牵扯画布的物理尺寸和 DPI。你在一台高分屏上把图放大两倍，数据坐标一点没变，像素坐标全变了。这也是为什么"同一个脚本，两台电脑截图出来的点位置不一样"——显示的像素变了，但数据的语义没变。

二、四套坐标，各管一摊事

四套坐标系不是平起平坐的，各有各的主场。数据坐标用来放你的真实数据；轴坐标用来在子图内部做相对定位，比如把文字固定在子图的正中间；图形坐标用来在整张画布上定位，比如给整张图加一个总标题；显示坐标是渲染的终点，你几乎不需要直接碰它。

它们的区别，一张表说清：

怎么用？给 text、annotate 这些函数传一个 transform 参数，指定坐标属于哪套系：

ax.text(0.5, 0.5, '居中', transform=ax.transAxes)        # 子图正中
fig.text(0.5, 0.02, '底部说明', transform=fig.transFigure)  # 画布底部
​

第一条代码里，0.5, 0.5 不再是数据坐标，而是"子图横竖各一半的位置"。无论你的数据范围是 0 到 1 还是 0 到一百万，这行字都稳稳待在子图正中间。这就是变换的威力：它把"位置"从数据的束缚里解放出来。

另外提一句：对数轴、极坐标这些"非线性"的东西，底层也是坐标变换。对数轴就是把数据坐标先取对数再映射，极坐标是把直角坐标换到角度和半径。你平时用 ax.set_xscale('log') 时，其实是在给 x 轴换一套变换。这也是为什么同一个 Affine2D 挂在不同 scale 的轴上，视觉结果会不一样——变换是叠在轴自己的缩放之上的。

三、Affine2D：最常用的变换工具

坐标变换的底层，多数是仿射变换。它干的事很朴素：把点平移、缩放、旋转、剪切，而且变换前后，直线还是直线、平行线还是平行线。对应到 Matplotlib，就是 Affine2D 这个类。它有四个工厂方法，正好对应四种基本操作：

先看平移。它把一个图形整体挪动一段距离：

import matplotlib.transforms as mtransforms

trans = mtransforms.Affine2D().translate(2, 3)
​

translate(2, 3) 的意思是：横轴方向挪 2 个单位，纵轴方向挪 3 个单位。这个"单位"是数据坐标的单位——因为平移通常作用在 transData 之上，2 就是横轴的 2 个数据单位。

缩放、旋转、剪切，写法同样直白：

scale = mtransforms.Affine2D().scale(1.5, 0.8)   # 横放大 1.5 倍，纵缩到 0.8 倍
rotate = mtransforms.Affine2D().rotate_deg(30)    # 逆时针转 30 度
shear = mtransforms.Affine2D().shear_x(0.3)       # 横轴方向剪切 0.3 弧度
​

真正用到图上，要把这些变换"挂"到数据坐标上。写法是让自定义变换和 ax.transData 相加：

line, = ax.plot(x, y)
line.set_transform(scale + ax.transData)
​

这里有个容易误会的点：scale + ax.transData 里，先执行的是靠右的 ax.transData，再执行靠左的 scale。也就是说，数据点先被换算成轴坐标，再在这个基础上做缩放。顺序千万别反——我们下一节专门讲这个。

为什么这四个操作能共用 Affine2D 一个类？因为它们本质上是同一种东西——一个三乘三矩阵在二维平面上的作用。平移、缩放、旋转、剪切，只是这个矩阵的不同取值。矩阵的左上四格管线性部分，缩放和旋转都藏在这里，靠边两格管平移。你不需要手写矩阵，translate、rotate 这些工厂方法已经把矩阵填好了；但知道背后是矩阵，你就明白为什么组合变换其实就是矩阵乘法、为什么顺序不能随便换——矩阵乘法本来就不满足交换律。

⚠️ 常见坑：旋转一个矩形时忘了设 ax.set_aspect('equal')。x 轴和 y 轴刻度比例不一致时，旋转 90 度的正方形会变成歪斜的平行四边形。这不是变换错了，是坐标轴的"尺子"横竖不一样长，旋转自然把形状带歪。

四、组合变换：顺序是命门

单个变换不够用，就要组合。Matplotlib 用加号 + 把变换串起来，规则很反直觉：写在左边的变换后执行，写在右边的变换先执行。这个顺序和数学里函数复合的写法一致，却跟很多人"从左到右"的直觉相反。

看一个具体的差别。假设我们要对一个图形"先平移再旋转"，和"先旋转再平移"，结果是两个完全不同的位置：

t = mtransforms.Affine2D().translate(3, 0)
r = mtransforms.Affine2D().rotate_deg(90)

combo_a = r + t   # 先平移，再旋转
combo_b = t + r   # 先旋转，再平移
​

在 combo_a 里，靠右的 t 先执行——图形先向右平移 3 个单位，然后整体绕原点旋转 90 度，结果落到了纵轴方向。在 combo_b 里，靠右的 r 先执行——图形先旋转 90 度（已经转到纵轴），再向右平移，结果跑到横轴负方向去了。同样的两个操作，换个顺序，终点差着十万八千里。

为什么要设计成"从右到左"？因为它和函数复合的写法 f(g(x)) 对齐——g 先作用，f 后作用。Matplotlib 内部把变换串成一串时，也是这么读的。你只要记住一句话：加号右边的先动手，就不会踩坑。

旋转还有个常被忽略的参数：绕哪个点转。默认绕原点转，图形在原点附近无所谓，但图形在 (10, 10) 时，绕原点旋转会把整个图形甩出视野。要绕图形自身中心转，得先平移把中心移到原点、再旋转、再平移回去。这个"平移-旋转-平移"的三段式，是旋转任意图形的标准套路，写一次就记住。

💡 关键直觉：把变换串想象成一条流水线，数据点从最右边进，往左依次经过每道工序。a + b 就是"先过 b 这道工序，再过 a 这道工序"。想清楚数据点先经历什么，顺序自然就对了。

五、什么时候该上坐标变换

不是所有定位都要自己手写变换。多数时候，你只要在 text、annotate、scatter 里传对 transform 参数就够了。真正需要 Affine2D 的场景，通常是这三类：

第一类，给现有对象叠加偏移。比如让一条线整体上移几个单位，或者给散点加一点抖动避免重叠。第二类，画内置函数画不出的几何图案，比如旋转的文字、倾斜的矩形、分形图案。第三类，做动画——每一帧改一点旋转角度或平移量，图形就动起来了。

举一个完整的例子：把 Matplotlib 预置的单位五角星，放到数据坐标的 (3, 4) 位置，并放大 1.5 倍。

from matplotlib.path import Path
from matplotlib.patches import PathPatch
import matplotlib.transforms as mtransforms

star = PathPatch(Path.unit_regular_star(5), facecolor='gold', edgecolor='black')
trans = mtransforms.Affine2D().scale(1.5).translate(3, 4)
star.set_transform(trans + ax.transData)
ax.add_patch(star)
​

注意变换的写法：.scale(1.5).translate(3, 4) 是链式调用，靠右的 translate 会先执行。单位五角星默认在原点附近、半径大约为 1，先放大 1.5 倍，再平移到 (3, 4)，就得到一个位置尺寸都合心意的星星。这个"先缩放后平移"的固定套路，比直接写顶点坐标快得多，也更不容易数错点。

其余时候，别硬上变换。能用 transAxes 定位就定位，能调 xlim 就调 xlim。变换是精密工具，不是万能钥匙，过度使用只会让代码更难读。

六、逆向变换与混合坐标

正向变换把数据送到屏幕，逆向变换反过来，把屏幕上的点送回数据坐标。什么时候用？交互拾取——用户鼠标点了一下，你只知道像素位置，要把它换算成数据坐标，才能知道点中了哪个数据点。

inv = ax.transData.inverted()
x_data, y_data = inv.transform((x_pixel, y_pixel))
​

inverted() 拿到的是反向变换，把像素坐标变回数据坐标。交互式缩放、十字光标读取数值，底层都是这一招。

还有一种"混合坐标"，一半用数据坐标、一半用轴坐标。比如你想让一条竖线"横坐标固定在数据里的某一天，纵坐标永远撑满子图高度"，就用 blended_transform_factory：

from matplotlib.transforms import blended_transform_factory

trans = blended_transform_factory(ax.transData, ax.transAxes)
ax.plot([2020, 2020], [0, 1], transform=trans)
​

这条线的横坐标走数据坐标（2020 这个位置），纵坐标走轴坐标（0 到 1，正好撑满子图）。单个 transData 或 transAxes 都做不到"两套坐标混用"，混合变换就是为这种需求生的。它的两个参数，第一个管横轴，第二个管纵轴，各用各的坐标系，互不干扰。

七、几个高频疑问

为什么我传的 transform 没生效？
多半是顺序问题。my_transform + ax.transData 是对的，写反成 ax.transData + my_transform，语义就变了——先做你的变换，再换算到屏幕，多半不是你要的效果。记住加号右边先执行。

transAxes 和 transFigure 长得像，怎么选？
看你要"相对谁"定位。相对单个子图，用 transAxes；相对整张画布、要跨多个子图对齐，用 transFigure。同一个 0.5,0.5，前者是子图中心，后者是画布中心。

Affine2D 能做非线性变换吗？
不能。仿射变换本质是线性加平移，直线还是直线、平行线还是平行线。要扭曲、弯曲、非线性映射，得用更底层的复合变换或自定义变换函数，但那是很少用到的进阶场景，多数需求用 Affine2D 就够。

数据坐标和轴坐标，我该信哪个？
放数据本身信数据坐标，做布局定位信轴坐标。二者不要混用：你想把注解放在"销售额等于 500 的点"旁边，用数据坐标；你想把注解固定在"子图右上角"不动，用轴坐标。混用是坐标变换最常见的翻车来源。

transform 和 transData 是什么关系？
transData 是 Axes 已经算好的一个变换对象，把数据坐标映射到显示坐标。你给 plot 传的 transform 参数，默认就是它。自己叠变换时，通常是在它前面再加一层，所以写成"我的变换 + ax.transData"。可以把 transData 想成最后一站，你的自定义变换是中间站，数据点先过中间站、再到最后一站。

温故知新

• 四套坐标系：数据、轴、图形、显示，基准和用途各不相同。
• 变换链：数据坐标经 transData、transAxes、transFigure，最终到像素。
• 数据坐标：放真实数据，范围和量纲随数据走。
• 轴坐标与图形坐标：都是 0 到 1 的相对坐标，一个对子图、一个对画布。
• Affine2D：平移 translate、缩放 scale、旋转 rotate、剪切 shear 四种基本操作。
• 变换要挂上坐标：用 自定义变换 + ax.transData 的方式作用到数据。
• 组合顺序反直觉：加号右边的先执行，先平移再旋转和先旋转再平移是两码事。

下一节我们下到最底层：一个形状到底由什么拼出来。你会发现，无论是内置的矩形圆，还是你自己画的任意图形，都逃不出"顶点加代码"这套规则——那就是 Path 和 Patch。