4.2Transformations (坐标变换)

4.2Transformations (坐标变换)

第四章：Matplotlib 高级主题领域

4.2 Transformations (坐标变换)

在 Matplotlib 中，坐标变换（Transformations）是控制和定制图形元素位置和形状的关键机制。理解坐标变换对于创建复杂、精细和具有视觉吸引力的图表至关重要。它允许我们将数据坐标映射到屏幕坐标，并在不同的坐标系统中进行操作，从而实现高级的图形定制和布局。

4.2.1 坐标系统 (Coordinate Systems)

在深入坐标变换之前，我们必须先理解 Matplotlib 中存在的不同坐标系统。这些坐标系统构成了变换的基础，理解它们之间的关系是掌握坐标变换的关键。Matplotlib 主要使用以下四种坐标系统：

• 数据坐标 (Data Coordinates): 这是与您的数据直接相关的坐标系统。当您绘制数据点 (x, y) 时，这些 x 和 y 值就位于数据坐标系中。数据坐标系的范围和刻度由您绘制的数据范围和轴的设置决定。

• 轴坐标 (Axes Coordinates): 轴坐标是相对于单个 Axes 对象（子图）的坐标系统。Axes 对象的左下角为 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。无论数据范围如何，轴坐标始终在这个范围内。轴坐标常用于在 Axes 对象内部定位元素，例如文本注释、图例和艺术家对象。

• 图形坐标 (Figure Coordinates): 图形坐标是相对于整个 Figure 对象（画布）的坐标系统。Figure 对象的左下角为 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。与轴坐标类似，图形坐标的范围也是固定的。图形坐标用于在整个 Figure 对象中定位元素，例如标题、总图例和多个子图之间的相对位置。

• 显示坐标 (Display Coordinates): 显示坐标是最终将图形渲染到屏幕或输出设备上的像素坐标系统。显示坐标是设备相关的，其单位是像素。Matplotlib 会自动将其他坐标系统转换为显示坐标以便最终绘制。

为了更清晰地展示这些坐标系统之间的关系，我们可以使用 Mermaid 的 graph TD 图来可视化它们之间的层级结构和转换流程：

坐标系统转换流程:

1. 数据坐标到轴坐标 (Data to Axes Transformation): 当您使用 plot()、scatter() 等函数绘制数据时，Matplotlib 首先将数据坐标转换为轴坐标。这个转换过程涉及到轴的缩放、平移和刻度设置。例如，如果您的 X 轴范围设置为 0 到 10，数据点 x=5 将被映射到轴坐标的 x=0.5 位置（假设线性缩放）。

2. 轴坐标到图形坐标 (Axes to Figure Transformation): 轴坐标进一步被转换为图形坐标。这个转换过程取决于 Axes 对象在 Figure 对象中的位置和大小。例如，如果一个 Axes 对象被放置在 Figure 对象的左上角，轴坐标 (0.5, 0.5) 将被映射到图形坐标的 (x, y)，其中 x 和 y 的值取决于 Axes 对象相对于 Figure 对象左上角的位置和尺寸。

3. 图形坐标到显示坐标 (Figure to Display Transformation): 最后，图形坐标被转换为显示坐标。这个转换过程涉及到将图形坐标（范围 0 到 1）映射到实际的像素位置。分辨率、画布大小和 DPI 设置都会影响这个转换过程。

理解这些坐标系统及其转换关系至关重要，因为 Matplotlib 的坐标变换机制就是围绕这些坐标系统展开的。在实际应用中，我们经常需要在不同的坐标系统之间进行转换，以便在图表中精确定位和控制各种元素。

4.2.2 变换对象 (Transform Objects)

Matplotlib 使用 变换对象 (Transform Objects) 来执行坐标系统之间的转换。变换对象是一个封装了坐标变换逻辑的类，它接受一个坐标点作为输入，并返回转换后的坐标点。

Matplotlib 中最常用的变换对象是 matplotlib.transforms.Transform 类的子类。其中，最核心和常用的变换对象是 Affine2D 和 CompositeGenericTransform。

• Affine2D: Affine2D 类用于表示 仿射变换 (Affine Transformations)。仿射变换是一种线性变换，它可以保持直线和平行线的性质。常见的仿射变换包括：

  • 平移 (Translation): 将对象沿 x 轴和 y 轴移动一定的距离。

  • 缩放 (Scaling): 沿 x 轴和 y 轴按比例放大或缩小对象。

  • 旋转 (Rotation): 围绕一个中心点旋转对象一定的角度。

  • 剪切 (Shear): 沿 x 轴或 y 轴倾斜对象。

  Affine2D 对象可以通过矩阵运算来高效地执行这些变换。在 Matplotlib 中，Affine2D 是最常用和最重要的变换对象，因为它足以处理绝大多数的坐标变换需求。

• CompositeGenericTransform: CompositeGenericTransform 类用于组合多个变换对象，形成 复合变换 (Composite Transformations)。当需要应用一系列变换时，可以使用 CompositeGenericTransform 将它们组合成一个单一的变换对象，从而简化代码并提高效率。

  CompositeGenericTransform 可以接受多个变换对象作为输入，并按照指定的顺序依次应用这些变换。这使得我们可以构建复杂的变换，例如先旋转再平移，或者先缩放再剪切。

4.2.3 仿射变换 Affine2D 详解与实践

Affine2D 类是 Matplotlib 中最核心的变换对象，它基于 3x3 的仿射变换矩阵来实现二维坐标变换。理解 Affine2D 的原理和使用方法是掌握 Matplotlib 坐标变换的关键。

仿射变换矩阵:

一个二维仿射变换可以用一个 3x3 的矩阵表示：

[ a  b  0 ]
[ c  d  0 ]
[ tx ty 1 ]
​

其中：

• a, b, c, d 控制线性变换（缩放、旋转、剪切）。

• tx, ty 控制平移变换。

当一个二维向量 [x, y, 1] （使用齐次坐标表示）与仿射变换矩阵相乘时，即可得到变换后的向量 [x', y', 1]：

[x']   [ a  b  0 ] [x]
[y'] = [ c  d  0 ] [y]
[1 ]   [ tx ty 1 ] [1]
​

展开后得到变换公式：

x' = a*x + b*y + tx
y' = c*x + d*y + ty
​

Affine2D 对象的创建和应用:

Matplotlib 提供了多种便捷的方法来创建 Affine2D 对象，对应于不同的基本仿射变换。

1. 平移 (Translation):

使用 Affine2D.translation(tx, ty) 方法创建平移变换对象。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
# 创建平移变换对象，沿 x 轴平移 20 个单位，沿 y 轴平移 10 个单位
translation = transforms.Affine2D.translation(20, 10)
# 示例数据
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 3, 5, 4, 6]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始数据点 (蓝色)
ax.plot(x, y, 'bo-', label='Original Data')
# 应用平移变换后的数据点 (红色)
ax.plot(x, y, 'ro-', label='Translated Data', transform=translation + ax.transData)
# 注意：transform 参数接受的是变换对象，这里将平移变换与数据坐标变换 ax.transData 组合
ax.legend()
ax.set_title('Translation Transformation')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• transforms.Affine2D.translation(20, 10) 创建了一个平移变换对象，表示沿 x 轴平移 20 个数据单位，沿 y 轴平移 10 个数据单位。

• transform=translation + ax.transData 是关键部分。ax.transData 是 Axes 对象的数据坐标变换，它负责将数据坐标转换为轴坐标。我们将平移变换 translation 与 ax.transData 相加，得到一个新的复合变换。这个复合变换先将数据坐标转换为轴坐标，然后再在轴坐标系中应用平移变换。

• 绘制红色线条时，transform 参数指定了应用这个复合变换。因此，红色线条的数据点会先经过数据坐标到轴坐标的转换，然后再在轴坐标系中平移 (20, 10) 个数据单位（注意，这里平移的单位是数据坐标单位，因为平移变换是在数据坐标变换之后应用的）。

2. 缩放 (Scaling):

使用 Affine2D.scale(sx, sy) 方法创建缩放变换对象。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
# 创建缩放变换对象，x 轴缩放 1.5 倍，y 轴缩放 0.8 倍
scaling = transforms.Affine2D.scale(1.5, 0.8)
# 示例数据
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 3, 5, 4, 6]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始数据点 (蓝色)
ax.plot(x, y, 'bo-', label='Original Data')
# 应用缩放变换后的数据点 (红色)
ax.plot(x, y, 'ro-', label='Scaled Data', transform=scaling + ax.transData)
ax.legend()
ax.set_title('Scaling Transformation')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• transforms.Affine2D.scale(1.5, 0.8) 创建了一个缩放变换对象，表示 x 轴方向缩放 1.5 倍，y 轴方向缩放 0.8 倍。

• transform=scaling + ax.transData 将缩放变换与数据坐标变换组合，缩放操作在数据坐标系中进行。

3. 旋转 (Rotation):

使用 Affine2D.rotate(angle) 或 Affine2D.rotate_deg(degrees) 方法创建旋转变换对象，角度单位分别为弧度和度。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
import numpy as np
# 创建旋转变换对象，逆时针旋转 30 度
rotation = transforms.Affine2D.rotate_deg(30)
# 示例数据 (绘制一个矩形)
rect_x = [1, 2, 2, 1, 1]
rect_y = [1, 1, 3, 3, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始矩形 (蓝色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'bo-', label='Original Rectangle')
# 应用旋转变换后的矩形 (红色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'ro-', label='Rotated Rectangle', transform=rotation + ax.transData)
# 设置坐标轴范围，以便完整显示旋转后的矩形
ax.set_xlim(-1, 4)
ax.set_ylim(-1, 4)
ax.set_aspect('equal') # 保持 x 和 y 轴刻度一致，避免图形变形
ax.legend()
ax.set_title('Rotation Transformation')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• transforms.Affine2D.rotate_deg(30) 创建了一个旋转变换对象，表示逆时针旋转 30 度。

• ax.set_aspect('equal') 非常重要，它确保 x 轴和 y 轴的刻度比例一致，这样旋转才不会导致图形变形。如果不设置 aspect='equal'，旋转后的矩形可能会变成一个倾斜的平行四边形。

4. 剪切 (Shear):

使用 Affine2D.shear_x(angle) 或 Affine2D.shear_y(angle) 方法创建剪切变换对象，分别表示沿 x 轴或 y 轴方向进行剪切，角度单位为弧度。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
import numpy as np
# 创建 x 轴剪切变换对象，角度为 0.3 弧度
shear_x = transforms.Affine2D.shear_x(0.3)
# 示例数据 (绘制一个矩形)
rect_x = [1, 2, 2, 1, 1]
rect_y = [1, 1, 3, 3, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始矩形 (蓝色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'bo-', label='Original Rectangle')
# 应用 x 轴剪切变换后的矩形 (红色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'ro-', label='Sheared Rectangle', transform=shear_x + ax.transData)
# 设置坐标轴范围，以便完整显示剪切后的矩形
ax.set_xlim(-1, 4)
ax.set_ylim(0, 4)
ax.set_aspect('equal')
ax.legend()
ax.set_title('Shear Transformation (X-axis)')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• transforms.Affine2D.shear_x(0.3) 创建了一个 x 轴剪切变换对象，剪切角度为 0.3 弧度。

• x 轴剪切会使 y 坐标保持不变，而 x 坐标会根据 y 坐标的值进行偏移，从而产生倾斜的效果。

5. 组合变换 (Composite Transformations):

可以使用 + 运算符将多个 Affine2D 对象组合成一个复合变换。变换的应用顺序是从左到右。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
import numpy as np
# 创建平移变换和旋转变换
translation = transforms.Affine2D.translation(2, 1)
rotation = transforms.Affine2D.rotate_deg(45)
# 组合变换：先平移，后旋转
composite_transform = translation + rotation
# 示例数据 (绘制一个矩形)
rect_x = [1, 2, 2, 1, 1]
rect_y = [1, 1, 3, 3, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始矩形 (蓝色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'bo-', label='Original Rectangle')
# 应用复合变换后的矩形 (红色)
ax.plot(rect_x, rect_y, 'ro-', label='Transformed Rectangle', transform=composite_transform + ax.transData)
# 设置坐标轴范围
ax.set_xlim(-2, 5)
ax.set_ylim(-2, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.legend()
ax.set_title('Composite Transformation (Translation + Rotation)')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• composite_transform = translation + rotation 将平移变换 translation 和旋转变换 rotation 组合成一个复合变换。注意，变换的应用顺序是先平移，后旋转。

• 复合变换的应用顺序非常重要，不同的顺序会产生不同的结果。例如，先旋转再平移与先平移再旋转通常是不同的。

4.2.4 复合变换 CompositeGenericTransform 详解与实践

CompositeGenericTransform 类提供了更灵活的方式来创建复合变换，它可以组合任意类型的变换对象，包括自定义的变换函数。

创建 CompositeGenericTransform 对象:

CompositeGenericTransform 的构造函数接受两个参数：

• forward_transform: 前向变换函数或变换对象。

• inverse_transform: 逆向变换函数或变换对象（可选）。

当 CompositeGenericTransform 应用于坐标点时，它会先应用 forward_transform，然后再应用 inverse_transform 的逆变换。

示例：使用 CompositeGenericTransform 实现非线性变换

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as transforms
import numpy as np
# 自定义非线性变换函数 (例如，平方变换)
def square_transform(xy):
    return xy**2
# 使用 CompositeGenericTransform 创建非线性变换对象
nonlinear_transform = transforms.CompositeGenericTransform(square_transform, square_transform)
# 示例数据
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = x  # y = x
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制原始数据 (蓝色)
ax.plot(x, y, 'b-', label='Original Data (y=x)')
# 应用非线性变换后的数据 (红色)
ax.plot(x, y, 'r-', label='Nonlinear Transformed Data (y=x^2)', transform=nonlinear_transform + ax.transData)
ax.legend()
ax.set_title('Nonlinear Transformation using CompositeGenericTransform')
plt.grid(True)
plt.show()
​

代码详解:

• square_transform(xy) 是一个自定义的非线性变换函数，它将输入的坐标点 xy 的每个分量平方。

• nonlinear_transform = transforms.CompositeGenericTransform(square_transform, square_transform) 创建了一个 CompositeGenericTransform 对象，使用 square_transform 作为前向和逆向变换函数（这里逆向变换函数也简单地设置为平方，实际上严格意义上的逆变换是平方根，但这里为了演示目的简化处理）。

• transform=nonlinear_transform + ax.transData 将非线性变换与数据坐标变换组合。

4.2.5 应用变换 (Applying Transformations)

在 Matplotlib 中，有多种方式可以应用变换：

1. transform 参数: 许多绘图函数（如 plot()、scatter()、text() 等）都接受 transform 参数。通过设置 transform 参数，可以将指定的变换应用于该函数绘制的艺术家对象。

   ax.plot(x, y, transform=my_transform + ax.transData)
   ​

2. set_transform() 方法: 艺术家对象（Artist Objects）都具有 set_transform() 方法，可以用于设置该艺术家的变换。

   line, = ax.plot(x, y)
   line.set_transform(my_transform + ax.transData)
   ​

3. 艺术家对象的内置变换属性: 艺术家对象还具有一些内置的变换属性，例如：

   • artist.transData: 艺术家对象的数据坐标变换。

   • artist.transAxes: 艺术家对象的轴坐标变换。

   • artist.transFigure: 艺术家对象的图形坐标变换。

   • artist.transOffset: 用于偏移文本或标记的变换。

   这些属性可以直接访问和修改艺术家的变换，但通常更常用的是 transform 参数或 set_transform() 方法。

4.2.6 实际应用案例

坐标变换在 Matplotlib 中有广泛的应用，以下是一些常见的实际案例：

• 创建自定义坐标轴: 可以使用坐标变换来创建非标准的坐标轴，例如对数坐标轴、极坐标轴等。Matplotlib 的 matplotlib.scale 模块就是基于坐标变换来实现各种坐标轴缩放的。

• 绘制复杂图形: 通过组合各种仿射变换，可以绘制出复杂的几何图形和图案，例如分形图形、万花筒图案等。

• 数据可视化增强: 可以使用坐标变换来调整数据点的显示位置，例如添加抖动 (jitter) 以避免数据点重叠，或者创建透视效果。

• 动画效果: 可以通过动态地修改变换对象来实现动画效果，例如平移、旋转或缩放图形元素。

总结

Matplotlib 的坐标变换系统是其高级定制功能的核心。理解坐标系统、变换对象以及如何应用变换，能够帮助您更精细地控制图表的布局和外观，创建更具表现力和信息量的可视化作品。Affine2D 和 CompositeGenericTransform 是最常用的变换工具，掌握它们的使用方法对于深入 Matplotlib 图形定制至关重要。通过灵活运用坐标变换，您可以突破 Matplotlib 的默认设置，实现各种高级和自定义的绘图效果。