第五章：NumPy 数组的基本运算

第五章：NumPy 数组的基本运算

NumPy 的核心是其强大的 N 维数组对象 ndarray。理解如何对 NumPy 数组执行基本运算是进行高效数据分析和科学计算的关键。本章将深入探讨 NumPy 数组的基本运算，包括算术运算、比较运算、逻辑运算、广播机制以及一些常用的数学函数。

5.1 算术运算

NumPy 提供了丰富的算术运算符，可以对数组执行逐元素（element-wise）的运算。

5.1.1 基本算术运算符

NumPy 支持标准的加、减、乘、除和取模运算。这些运算符可以直接应用于数组，也可以应用于数组和标量之间。

import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([5, 6, 7, 8])
# 加法
print("加法: a + b =", a + b)  # [ 6  8 10 12]
print("加法: a + 5 =", a + 5)  # [ 6  7  8  9]
# 减法
print("减法: a - b =", a - b)  # [-4 -4 -4 -4]
print("减法: a - 2 =", a - 2)  # [-1  0  1  2]
# 乘法
print("乘法: a * b =", a * b)  # [ 5 12 21 32]
print("乘法: a * 3 =", a * 3)  # [ 3  6  9 12]
# 除法
print("除法: a / b =", a / b)  # [0.2        0.33333333 0.42857143 0.5       ]
print("除法: a / 2 =", a / 2)  # [0.5 1.  1.5 2. ]
# 整除
print("整除: a // b =", a // b) # [0 0 0 0]
print("整除: a // 2 =", a // 2) # [0 1 1 2]
# 取模
print("取模: a % b =", a % b)  # [1 2 3 4]
print("取模: a % 2 =", a % 2)  # [1 0 1 0]
# 指数
print("指数: a ** 2 =", a ** 2) # [ 1  4  9 16]
​

5.1.2 NumPy 算术函数

NumPy 还提供了一些算术函数，例如 np.add(), np.subtract(), np.multiply(), np.divide(), np.floor_divide(), np.mod(), np.power() 等，它们与对应的运算符具有相同的功能，但有时在处理特殊情况（例如，需要指定输出数组）时更加方便。

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([5, 6, 7, 8])
# 加法
print("加法: np.add(a, b) =", np.add(a, b))
# 减法
print("减法: np.subtract(a, b) =", np.subtract(a, b))
# 乘法
print("乘法: np.multiply(a, b) =", np.multiply(a, b))
# 除法
print("除法: np.divide(a, b) =", np.divide(a, b))
# 整除
print("整除: np.floor_divide(a, b) =", np.floor_divide(a, b))
# 取模
print("取模: np.mod(a, b) =", np.mod(a, b))
# 指数
print("指数: np.power(a, 2) =", np.power(a, 2))
​

5.2 比较运算

NumPy 允许使用比较运算符（==, !=, <, >, <=, >=) 对数组进行逐元素比较。比较的结果是一个布尔数组，其中 True 表示满足条件，False 表示不满足条件。

a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
b = np.array([2, 2, 4, 4, 6])
# 等于
print("等于: a == b =", a == b)  # [False  True False  True False]
# 不等于
print("不等于: a != b =", a != b)  # [ True False  True False  True]
# 小于
print("小于: a < b =", a < b)  # [ True False  True False  True]
# 大于
print("大于: a > b =", a > b)  # [False False False False False]
# 小于等于
print("小于等于: a <= b =", a <= b)  # [ True  True  True  True  True]
# 大于等于
print("大于等于: a >= b =", a >= b)  # [False  True False  True False]
​

5.3 逻辑运算

NumPy 提供了逻辑运算符（&, |, ~, ^）和相应的函数（np.logical_and(), np.logical_or(), np.logical_not(), np.logical_xor()）用于对布尔数组进行逻辑运算。

a = np.array([True, False, True, False])
b = np.array([False, True, False, True])
# 与
print("与: a & b =", a & b)  # [False False False False]
print("与: np.logical_and(a, b) =", np.logical_and(a, b))
# 或
print("或: a | b =", a | b)  # [ True  True  True  True]
print("或: np.logical_or(a, b) =", np.logical_or(a, b))
# 非
print("非: ~a =", ~a)  # [False  True False  True]
print("非: np.logical_not(a) =", np.logical_not(a))
# 异或
print("异或: a ^ b =", a ^ b)  # [ True  True  True  True]
print("异或: np.logical_xor(a, b) =", np.logical_xor(a, b))
​

这些逻辑运算可以与比较运算结合使用，以实现更复杂的条件判断。

a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# 找出大于 2 且小于 5 的元素
condition = (a > 2) & (a < 5)
print("大于 2 且小于 5 的元素:", a[condition])  # [3 4]
​

5.4 广播（Broadcasting）

广播是 NumPy 中一个强大的特性，它允许对形状不同的数组进行算术运算。当两个数组的形状不完全相同时，NumPy 会尝试通过自动扩展数组的形状来使它们兼容。

广播的规则如下：

1. 如果两个数组的维度数不同，则在维度数较小的数组的前面补 1，直到维度数相同。

2. 如果两个数组的形状在任何维度上都不匹配，并且其中一个数组在该维度上的大小为 1，则沿着该维度扩展数组以匹配另一个数组的形状。

3. 如果两个数组在任何维度上的形状都不匹配，并且两个数组在该维度上的大小都不为 1，则会引发错误。

a = np.array([1, 2, 3])  # 形状 (3,)
b = np.array([[4], [5], [6]])  # 形状 (3, 1)
# a 和 b 可以进行广播，得到形状为 (3, 3) 的结果
print("广播加法: a + b =", a + b)
# [[5 6 7]
#  [6 7 8]
#  [7 8 9]]
​

在这个例子中，a 的形状是 (3,)，b 的形状是 (3, 1)。根据广播规则，a 会被扩展为 [[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3]]，然后与 b 进行逐元素相加。

使用 mermaid 的 graph TD 图示说明广播过程：

5.5 常用的数学函数

NumPy 提供了大量的数学函数，可以对数组执行各种数学运算。这些函数通常是逐元素的，并且可以处理各种数据类型。

5.5.1 三角函数

NumPy 提供了常用的三角函数，例如 np.sin(), np.cos(), np.tan(), np.arcsin(), np.arccos(), np.arctan() 等。

a = np.array([0, np.pi/2, np.pi])
print("正弦: np.sin(a) =", np.sin(a))  # [0.0000000e+00 1.0000000e+00 1.2246468e-16]
print("余弦: np.cos(a) =", np.cos(a))  # [ 1.000000e+00  6.123234e-17 -1.000000e+00]
​

5.5.2 指数和对数函数

NumPy 提供了指数函数 np.exp() 和对数函数 np.log(), np.log2(), np.log10() 等。

a = np.array([1, 2, 3])
print("指数: np.exp(a) =", np.exp(a))  # [ 2.71828183  7.3890561  20.08553692]
print("自然对数: np.log(a) =", np.log(a))  # [0.         0.69314718 1.09861229]
print("以 2 为底的对数: np.log2(a) =", np.log2(a))  # [0.        1.        1.5849625]
print("以 10 为底的对数: np.log10(a) =", np.log10(a))  # [0.         0.30103    0.47712125]
​

5.5.3 其他数学函数

NumPy 还提供了许多其他数学函数，例如：

• np.sqrt(): 计算平方根。

• np.power(): 计算指数。

• np.abs(): 计算绝对值。

• np.round(): 四舍五入。

• np.floor(): 向下取整。

• np.ceil(): 向上取整。

a = np.array([-1.5, 2.7, -3.2])
print("平方根: np.sqrt(np.abs(a)) =", np.sqrt(np.abs(a)))  # [1.22474487 1.64316767 1.78885438]
print("绝对值: np.abs(a) =", np.abs(a))  # [1.5 2.7 3.2]
print("四舍五入: np.round(a) =", np.round(a))  # [-2.  3. -3.]
print("向下取整: np.floor(a) =", np.floor(a))  # [-2.  2. -4.]
print("向上取整: np.ceil(a) =", np.ceil(a))  # [-1.  3. -3.]
​

5.6 聚合函数

NumPy 提供了许多聚合函数，可以对数组中的元素进行统计计算。

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# 求和
print("求和: np.sum(a) =", np.sum(a))  # 21
print("按列求和: np.sum(a, axis=0) =", np.sum(a, axis=0))  # [5 7 9]
print("按行求和: np.sum(a, axis=1) =", np.sum(a, axis=1))  # [ 6 15]
# 求均值
print("求均值: np.mean(a) =", np.mean(a))  # 3.5
print("按列求均值: np.mean(a, axis=0) =", np.mean(a, axis=0))  # [2.5 3.5 4.5]
print("按行求均值: np.mean(a, axis=1) =", np.mean(a, axis=1))  # [2. 5.]
# 求最大值
print("求最大值: np.max(a) =", np.max(a))  # 6
print("按列求最大值: np.max(a, axis=0) =", np.max(a, axis=0))  # [4 5 6]
print("按行求最大值: np.max(a, axis=1) =", np.max(a, axis=1))  # [3 6]
# 求最小值
print("求最小值: np.min(a) =", np.min(a))  # 1
print("按列求最小值: np.min(a, axis=0) =", np.min(a, axis=0))  # [1 2 3]
print("按行求最小值: np.min(a, axis=1) =", np.min(a, axis=1))  # [1 4]
# 求标准差
print("求标准差: np.std(a) =", np.std(a))  # 1.707825127659933
print("按列求标准差: np.std(a, axis=0) =", np.std(a, axis=0))  # [1.5 1.5 1.5]
print("按行求标准差: np.std(a, axis=1) =", np.std(a, axis=1))  # [0.81649658 0.81649658]
# 求方差
print("求方差: np.var(a) =", np.var(a))  # 2.9166666666666665
print("按列求方差: np.var(a, axis=0) =", np.var(a, axis=0))  # [2.25 2.25 2.25]
print("按行求方差: np.var(a, axis=1) =", np.var(a, axis=1))  # [0.66666667 0.66666667]
# 求中位数
print("求中位数: np.median(a) =", np.median(a))  # 3.5
print("按列求中位数: np.median(a, axis=0) =", np.median(a, axis=0))  # [2.5 3.5 4.5]
print("按行求中位数: np.median(a, axis=1) =", np.median(a, axis=1))  # [2. 5.]
​

总结

本章介绍了 NumPy 数组的基本运算，包括算术运算、比较运算、逻辑运算、广播机制以及常用的数学函数。掌握这些基本运算是使用 NumPy 进行高效数据分析和科学计算的基础。通过灵活运用这些运算，可以实现各种复杂的数据处理和分析任务。