7.1 axis聚合的降维之路

7.1 axis聚合的降维之路

本节摘要：聚合函数沿指定轴把数组压薄：axis 指的是被消除的维度，结果形状等于原形状去掉那一维。这个机械规则可以推算一切聚合结果，配合 keepdims 保留长度 1 的轴以衔接广播。本节从二维到三维演练形状推算，并给出 argmin 家族与 nan 安全版本的实战组合。

axis 的机械理解法

忘掉"按行压缩还是按列压缩"这种绕口令，记一条规则：axis=n 表示第 n 个维度被消掉。

import numpy as np

m = np.arange(12).reshape(3, 4)
print(m)
# [[ 0  1  2  3]
#  [ 4  5  6  7]
#  [ 8  9 10 11]]

print(m.sum(axis=0))   # [12 15 18 21]，形状 (4,)
# 维度0（行数3）被消掉：每列的3个数压成1个，剩4列

print(m.sum(axis=1))   # [ 6 22 38]，形状 (3,)
# 维度1（列数4）被消掉：每行的4个数压成1个，剩3行

print(m.sum())         # 66，全消成标量
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验证推算法：原形状 (3, 4)，axis=0 结果形状去掉第 0 维得 (4,)；axis=1 得 (3,)。三维同理，一层一层剥：

import numpy as np

cube = np.arange(24).reshape(2, 3, 4)   # 两批 3x4

print(cube.sum(axis=0).shape)   # (3, 4)，批次被消：两批对应位置相加
print(cube.sum(axis=1).shape)   # (2, 4)，每批的行被消：列向合计
print(cube.sum(axis=2).shape)   # (2, 3)，每批的列被消：行向合计
print(cube.sum(axis=(0, 2)).shape)   # (3,)，一次消两维
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聚合的形状推算规则

keepdims 与聚合后的广播

第 6.2 节已经预告，这里系统演练：每行减去行均值是数据标准化的日常步骤。

import numpy as np

data = np.array([[1.0, 2.0, 3.0],
                 [10.0, 20.0, 30.0]])

row_mean = data.mean(axis=1, keepdims=True)   # (2, 1)
print(row_mean)
# [[ 2.]
#  [20.]]

centered = data - row_mean       # (2,3) 对 (2,1) 广播
print(centered)
# [[-1.  0.  1.]
#  [-10.  0. 10.]]

# 没有 keepdims 的写法要手动插轴
centered2 = data - data.mean(axis=1)[:, np.newaxis]
print(np.array_equal(centered, centered2))   # True
​

位置类聚合与 nan 安全版

argmin 与 argmax 返回位置而非数值，是"找到谁"类问题的钥匙：

import numpy as np

sales = np.array([120, 350, 90, 410, 280])
print("最佳月份:", sales.argmax())       # 3（四月，零起算）
print("最差月份:", sales.argmin())       # 2

# 二维时 argmax 沿轴给每行/列的最佳位置
m = np.array([[1, 9, 3],
              [8, 2, 5]])
print(m.argmax(axis=1))   # [1 0]，每行最大值所在列号

# 真实数据常有 nan：普通聚合会被一个 nan 毁掉
dirty = np.array([1.0, np.nan, 3.0, 2.0])
print(dirty.mean())             # nan
print(np.nanmean(dirty))        # 2.0，忽略 nan
print(np.nansum(dirty))         # 6.0
print(np.isnan(dirty).sum())    # 1，顺带统计缺失数
​

nan 前缀家族（nanmean、nanstd、nanmax）是清洗不完全数据的救生圈，比"先删 nan 再算"少一次拷贝。

案例：班级成绩单多级汇总

完整过程。背景：3 个班、4 次测验、每班 5 名学生，模拟 (3, 5, 4) 成绩张量，做多级统计。

操作：

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(11)
scores = rng.normal(loc=75, scale=10, size=(3, 5, 4)).clip(0, 100)

# 每个学生的平均分：消掉测验维
student_avg = scores.mean(axis=2)          # (3, 5)
print(student_avg.round(1))
# [[78.6 76.2 74.8 79.4 71.2]
#  [66.9 72.4 75.9 70.6 74.7]
#  [78.1 69.8 73.5 77.9 75.6]]

# 每个班的平均分：再消掉学生维
class_avg = student_avg.mean(axis=1)       # (3,)
print("班级均分:", class_avg.round(2))     # [76.04 72.1 74.98]

# 每次测验全校平均：消掉班级与学生
exam_avg = scores.mean(axis=(0, 1))        # (4,)
print("各次测验:", exam_avg.round(2))      # [74.66 73.61 74.53 75.46]

# 每班的尖子生（学生维上取最大）
top_per_class = student_avg.max(axis=1)
print("班级最高:", top_per_class.round(1))  # [79.4 75.9 78.1]
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结果与解读：三次聚合覆盖"学生、班级、测验"三个观察角度，全部靠形状推算法直接写出，零循环。第二次测验全校均分最低（73.61），可进一步查 diff = scores[:,:,1] - scores[:,:,0] 定位是哪个班拖了后腿。变式：加 weights 权重算加权平均 np.average(scores, axis=2, weights=[0.1,0.2,0.3,0.4])，模拟"期末占比更高"的评分规则。

⚠️ 常见坑：axis 越界不总是立刻报错（负数 axis 是合法的，-1 指最后一维），想当然写 axis=1 处理一维数组才会炸。写完聚合顺手打印结果形状，是最便宜的验收。

本节要点回顾

• 机械规则：axis=n 即消掉第 n 维，结果形状从原形状删掉那一项，正负下标都适用
• keepdims 衔接：聚合保轴后天然可广播，免去 newaxis 手工对齐
• 位置家族：argmax/argmin 给下标，配花式索引直接取回元素
• nan 家族：nanmean/nansum 忽略缺失，比先清洗再计算少一次拷贝
• 多维汇总套路：一层层消维，每步打印形状，任何规模数据都同一套思路

下一节进入线性代数：矩阵乘的缓存分块、solve 与 inv 的取舍、SVD 降噪实战。