2.4 `scipy.fft`：快速傅里叶变换 (FFT)

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2.4 ：快速傅里叶变换 (FFT) Scipy 核心模块详解：2.4 ：快速傅里叶变换 (FFT) 快速傅里叶变换 (FFT) 是信号处理、图像分析和科学计算中不可或缺的工具。模块提供了高效且全面的 FFT 实现，允许用户执行离散傅里叶变换 (DFT) 及其逆变换，以及相关的操作。本文将深入探讨模块的核心功能、使用方法以及一些实际应用。 2.4.1 模块概述模块旨在提供一个统一的接口，用于执行各种类型的 FFT。它包含了多个函数，涵盖了一维、二维以及多维的 FFT，实数 FFT，Hermitian FFT 等。主要功能: 一维 FFT ( ): 计算一维离散傅里叶变换。逆一维 FFT ( ): 计算一维离散傅里叶逆变换。二维 FFT ( ): 计算二维离散傅里叶变换。

2.4 `scipy.fft`：快速傅里叶变换 (FFT)

Scipy 核心模块详解：2.4 `scipy.fft`：快速傅里叶变换 (FFT)

快速傅里叶变换 (FFT) 是信号处理、图像分析和科学计算中不可或缺的工具。scipy.fft 模块提供了高效且全面的 FFT 实现，允许用户执行离散傅里叶变换 (DFT) 及其逆变换，以及相关的操作。本文将深入探讨 scipy.fft 模块的核心功能、使用方法以及一些实际应用。

2.4.1 `scipy.fft` 模块概述

scipy.fft 模块旨在提供一个统一的接口，用于执行各种类型的 FFT。它包含了多个函数，涵盖了一维、二维以及多维的 FFT，实数 FFT，Hermitian FFT 等。

主要功能:

一维 FFT (fft): 计算一维离散傅里叶变换。
逆一维 FFT (ifft): 计算一维离散傅里叶逆变换。
二维 FFT (fft2): 计算二维离散傅里叶变换。
逆二维 FFT (ifft2): 计算二维离散傅里叶逆变换。
多维 FFT (fftn): 计算 N 维离散傅里叶变换。
逆多维 FFT (ifftn): 计算 N 维离散傅里叶逆变换。
实数 FFT (rfft): 对实数输入进行 FFT，利用对称性提高效率。
逆实数 FFT (irfft): 计算实数 FFT 的逆变换。
Hermitian FFT (hfft): 对具有 Hermitian 对称性的输入进行 FFT。
逆 Hermitian FFT (ihfft): 计算 Hermitian FFT 的逆变换。
频率生成 (fftfreq, rfftfreq): 生成 FFT 频率轴。
移频 (fftshift, ifftshift): 将零频率分量移动到频谱中心。

2.4.2 核心函数详解与代码实践

2.4.2.1 一维 FFT (`fft` 和 `ifft`)

fft(x, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算输入数组 x 的一维离散傅里叶变换。

x: 输入数组。
n: 可选，指定 FFT 的长度。如果 n 小于 x 的长度，则 x 将被截断。如果 n 大于 x 的长度，则 x 将被填充零。
axis: 可选，指定进行 FFT 的轴。默认为 -1，即最后一个轴。
norm: 可选，指定规范化模式。可以是 "backward" (默认), "ortho", 或 "forward"。
overwrite_x: 可选，如果为 True，则允许修改输入数组 x。
workers: 可选，指定用于并行计算的线程数。
plan: 可选，预先计算的 FFT 计划。

ifft(x, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算一维离散傅里叶逆变换。参数与 fft 函数类似。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import fft, ifft
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个简单的信号
N = 256  # 采样点数
T = 1.0 / 800.0  # 采样周期
x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
y = np.sin(2.0*np.pi*50.0*x) + 0.5*np.sin(2.0*np.pi*80.0*x)
# 执行 FFT
yf = fft(y)
xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2)
# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, y)
plt.title("Original Signal")
plt.xlabel("Time (s)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[:N//2]))
plt.title("FFT Spectrum")
plt.xlabel("Frequency (Hz)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.tight_layout()
plt.show()
# 执行逆 FFT
y_reconstructed = ifft(yf)
# 验证重建信号
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(x, y, label="Original")
plt.plot(x, np.real(y_reconstructed), label="Reconstructed", linestyle="--")
plt.title("Original vs. Reconstructed Signal")
plt.xlabel("Time (s)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

这段代码首先生成一个包含两个正弦波的信号，然后使用 fft 函数计算其频谱，并绘制原始信号和频谱。接着，使用 ifft 函数对频谱进行逆变换，重建原始信号，并将其与原始信号进行比较。

2.4.2.2 二维 FFT (`fft2` 和 `ifft2`)

fft2(x, s=None, axes=(-2, -1), norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算输入数组 x 的二维离散傅里叶变换。

x: 输入数组。
s: 可选，指定 FFT 的形状。如果 s 小于 x 的形状，则 x 将被截断。如果 s 大于 x 的形状，则 x 将被填充零。
axes: 可选，指定进行 FFT 的轴。默认为 (-2, -1)，即最后两个轴。
其他参数与 fft 函数类似。

ifft2(x, s=None, axes=(-2, -1), norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算二维离散傅里叶逆变换。参数与 fft2 函数类似。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import fft2, ifft2
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个简单的二维图像
N = 64
image = np.zeros((N, N))
image[N//4:3*N//4, N//4:3*N//4] = 1  # 创建一个正方形
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title("Original Image")
plt.show()
# 执行二维 FFT
fourier_image = fft2(image)
# 将零频率分量移动到中心
fourier_amplitudes = np.fft.fftshift(np.abs(fourier_image))
# 显示频谱
plt.imshow(np.log(1 + fourier_amplitudes), cmap='gray')
plt.title("FFT Spectrum (log scale)")
plt.show()
# 执行二维逆 FFT
reconstructed_image = ifft2(fourier_image)
# 显示重建图像
plt.imshow(np.real(reconstructed_image), cmap='gray')
plt.title("Reconstructed Image")
plt.show()

这段代码首先创建一个简单的二维图像（一个正方形），然后使用 fft2 函数计算其二维频谱，并使用 fftshift 函数将零频率分量移动到频谱中心。接着，使用 ifft2 函数对频谱进行逆变换，重建原始图像。

2.4.2.3 多维 FFT (`fftn` 和 `ifftn`)

fftn(x, s=None, axes=None, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算输入数组 x 的 N 维离散傅里叶变换。

x: 输入数组。
s: 可选，指定 FFT 的形状。
axes: 可选，指定进行 FFT 的轴。如果为 None，则对所有轴进行 FFT。
其他参数与 fft 函数类似。

ifftn(x, s=None, axes=None, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算 N 维离散傅里叶逆变换。参数与 fftn 函数类似。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import fftn, ifftn
# 创建一个三维数组
N = 16
data = np.random.rand(N, N, N)
# 执行三维 FFT
fourier_data = fftn(data)
# 执行三维逆 FFT
reconstructed_data = ifftn(fourier_data)
# 验证重建数据
print("Max difference:", np.max(np.abs(data - np.real(reconstructed_data))))

这段代码创建一个随机的三维数组，然后使用 fftn 函数计算其三维频谱，并使用 ifftn 函数对频谱进行逆变换，重建原始数据。最后，验证重建数据的准确性。

2.4.2.4 实数 FFT (`rfft` 和 `irfft`)

由于实数信号的傅里叶变换具有 Hermitian 对称性，因此只需要存储一半的频谱信息。rfft 函数利用这一特性，可以更高效地计算实数信号的 FFT。

rfft(x, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算实数输入数组 x 的 FFT。

irfft(x, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, plan=None) 函数计算实数 FFT 的逆变换。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import rfft, irfft
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个实数信号
N = 256
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
y = np.sin(2.0*np.pi*50.0*x) + 0.5*np.sin(2.0*np.pi*80.0*x)
# 执行实数 FFT
yf = rfft(y)
xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2 + 1)
# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, y)
plt.title("Original Real Signal")
plt.xlabel("Time (s)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf))
plt.title("Real FFT Spectrum")
plt.xlabel("Frequency (Hz)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.tight_layout()
plt.show()
# 执行逆实数 FFT
y_reconstructed = irfft(yf)
# 验证重建信号
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(x, y, label="Original")
plt.plot(x, np.real(y_reconstructed), label="Reconstructed", linestyle="--")
plt.title("Original vs. Reconstructed Signal (Real FFT)")
plt.xlabel("Time (s)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

2.4.2.5 频率生成 (`fftfreq` 和 `rfftfreq`)

fftfreq(n, d=1.0, axis=0) 函数生成 FFT 频率轴。

n: 采样点数。
d: 采样周期。

rfftfreq(n, d=1.0, axis=0) 函数生成实数 FFT 的频率轴。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import fftfreq, rfftfreq
# 生成频率轴
N = 256
T = 1.0 / 800.0
xf = fftfreq(N, T)[:N//2]  # 使用 fftfreq
xrf = rfftfreq(N, T)      # 使用 rfftfreq
print("Frequencies (fftfreq):", xf[:10])
print("Frequencies (rfftfreq):", xrf[:10])

2.4.2.6 移频 (`fftshift` 和 `ifftshift`)

fftshift(x, axes=None, norm=None) 函数将零频率分量移动到频谱中心。

ifftshift(x, axes=None, norm=None) 函数执行 fftshift 的逆操作。

代码示例:


import numpy as np
from scipy.fft import fft, fftshift
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一个信号
N = 256
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
y = np.sin(2.0*np.pi*50.0*x)
# 执行 FFT
yf = fft(y)
# 移动零频率分量
yf_shifted = fftshift(yf)
# 生成频率轴
xf = np.linspace(-1.0/(2.0*T), 1.0/(2.0*T), N)
# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(xf, np.abs(yf_shifted))
plt.title("FFT Spectrum (Shifted)")
plt.xlabel("Frequency (Hz)")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.tight_layout()
plt.show()

2.4.3 规范化模式 (`norm`)

scipy.fft 模块中的 norm 参数控制 FFT 的规范化方式。有三种规范化模式：

"backward" (默认): DFT 的标准定义，没有额外的规范化因子。
"ortho": 使 DFT 成为酉变换，前向和逆向变换都乘以 1/sqrt(N)。这在信号处理中非常有用，因为它保持了能量。
"forward": 前向变换乘以 1/N，逆向变换没有额外的规范化因子。

选择哪种规范化模式取决于具体的应用场景。

2.4.4 FFT 性能优化

对于大型数据集，FFT 的计算可能非常耗时。scipy.fft 模块提供了一些优化选项：

overwrite_x: 如果设置为 True，则允许修改输入数组 x，这可以减少内存占用和复制开销。
workers: 可以指定用于并行计算的线程数，从而利用多核 CPU 提高计算速度。
plan: 预先计算的 FFT 计划可以显著提高重复 FFT 操作的性能。

2.4.5 实际应用示例

FFT 在许多领域都有广泛的应用，以下是一些例子：

信号处理: 频谱分析、滤波、信号重建。
图像处理: 图像增强、图像压缩、图像识别。
科学计算: 求解偏微分方程、计算卷积。

例如，可以使用 FFT 进行图像去噪：


import numpy as np
from scipy.fft import fft2, ifft2, fftshift
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import io, img_as_float
from skimage.util import random_noise
# 加载图像
image = img_as_float(io.imread('image.jpg', as_gray=True))
# 添加噪声
noisy_image = random_noise(image, var=0.01)
# 执行二维 FFT
fourier_image = fft2(noisy_image)
fourier_amplitudes = fftshift(fourier_image)
# 理想低通滤波器
rows, cols = image.shape
crow, ccol = rows//2 , cols//2
mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)
r = 30 # 可调节半径
center = [crow, ccol]
x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
mask_area = (x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2 <= r*r
mask[mask_area] = 1
# 应用滤波器
fourier_amplitudes_filtered = fourier_amplitudes * mask
# 逆移频
fourier_image_filtered = fftshift(fourier_amplitudes_filtered)
# 执行二维逆 FFT
filtered_image = ifft2(fourier_image_filtered).real
# 显示结果
plt.figure(figsize=(15,5))
plt.subplot(131)
plt.imshow(noisy_image, cmap='gray')
plt.title('Noisy Image')
plt.subplot(132)
plt.imshow(np.log(np.abs(fourier_amplitudes)), cmap='gray')
plt.title('Noisy Image Spectrum')
plt.subplot(133)
plt.imshow(filtered_image, cmap='gray')
plt.title('Filtered Image')
plt.tight_layout()
plt.show()

作者与出处

原作者：灏天文库

来源：灏天文库

原文： https://aiknowledge.cn/collection/196-scipy%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%BA%93%E5%AE%9E%E6%88%98%E6%95%99%E7%A8%8B

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