积分

积分

积分把一个个小区间上的量累积起来，把局部的变化率还原成总量。本文件涵盖定积分与不定积分、微积分基本定理、积分技巧，以及在机器学习中如何应用于概率密度与期望值。

• 微分告诉我们某一点处的变化率。积分则反其道而行：它把无数个微小的片段累积起来，得到一个总量。

• 如果导数回答的是「有多快？」，那么积分回答的就是「有多少？」

• 理解积分最自然的方式，是把它看作曲线下方的面积（area under a curve）。如果你画出函数 f(x)，并把从 x = a 到 x = b 之间、曲线与 x 轴围成的区域涂上阴影，那么积分给出的就是这个区域的有符号面积。

• 为什么要说「有符号」？位于 x 轴上方的区域贡献正面积，位于 x 轴下方的区域贡献负面积。这在物理上很合理：如果 f(x) 表示速度，那么积分给出的是净位移（向前减向后），而不是总路程。

• 为了算出这块面积，可以想象把区域切成 n 根细长的竖直矩形，每根宽 \Delta x。每根矩形的高度取这一小段里某一点的函数值。把它们全加起来：

• 当我们把矩形做得越来越细（n \to \infty，\Delta x \to 0），这个和就变得精确了。这个取极限的过程就定义了定积分（definite integral）：

• \int 这个符号是一个拉长的「S」，代表「sum（求和）」。而 dx 则提醒我们：我们正在沿 x 轴把无穷薄的切片加起来。

• 不定积分（indefinite integral）（也叫原函数（antiderivative））是一个导数等于 f(x) 的函数 F(x)。我们写成：

• 这里的 + C 是积分常数（constant of integration）。由于任何常数的导数都是零，所以存在无穷多个原函数，它们彼此之间只相差一个常数。例如，\int 2x\, dx = x^2 + C，因为 x^2 + 7 或 x^2 - 3 的导数都还是 2x。

• **微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）**是连接微分与积分的那座桥。它有两部分：

• 第一部分：如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么定积分就等于 F 在两端点处的差：

• 这非常实用。我们不必再去算一个和的极限（那很难），而是找一个原函数，然后在两个点上求值（通常很容易）。

• 第二部分：如果我们定义 F(x) = \int_a^x f(t)\, dt，那么 F'(x) = f(x)。微分和积分互为逆运算，它们彼此抵消。

• 例如，要计算 \int_1^3 x^2\, dx：x^2 的原函数是 \frac{x^3}{3}。所以 \int_1^3 x^2\, dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67。

• 就像微分有法则一样，积分也有与之对应、方向相反的法则：

• 和差法则依然成立：\int [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx。常数可以提到外面：\int k\, f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx。

• 当一个函数过于复杂、难以直接积分时，我们有一些技巧来化简它。

• **换元法（u-substitution）**是链式法则的逆运算。如果你发现被积函数里有复合函数 f(g(x)) 乘以 g'(x)，那就令 u = g(x)，于是 du = g'(x)\, dx，积分就被化简了。

• 例如：\int 2x \cos(x^2)\, dx。令 u = x^2，则 du = 2x\, dx。积分变成 \int \cos(u)\, du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C。

• **分部积分（integration by parts）**是乘积法则的逆运算。如果被积函数是两个函数的乘积：

• 要巧妙地选择 u 和 dv，使得剩下的那个积分 \int v\, du 比原来的更简单。一个常用的选择 u 的口诀是 LIATE：对数（Logarithmic）、反三角（Inverse trig）、代数（Algebraic）、三角（Trigonometric）、指数（Exponential）——优先靠前的类别当选 u。

• 例如：\int x\, e^x\, dx。令 u = x（代数），dv = e^x\, dx。那么 du = dx，v = e^x。于是：\int x\, e^x\, dx = x\, e^x - \int e^x\, dx = x\, e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C。

• 在机器学习中，积分出现在概率论里（通过对密度函数积分来计算概率）、出现在期望值里（对连续分布求加权平均），也出现在计算 ROC 曲线下面积时。虽然实践中我们很少手动积分，但理解积分的含义，有助于正确解读这些量。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 用不断增加矩形数量的黎曼和（Riemann sum）来数值近似 \int_0^1 x^2\, dx，并与精确答案 \frac{1}{3} 对比。

import jax.numpy as jnp

for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    x = jnp.linspace(0, 1, n, endpoint=False)
    dx = 1.0 / n
    area = jnp.sum(x**2 * dx)
    print(f"n={n:5d}  approx: {area:.6f}  exact: {1/3:.6f}")
​

2. 数值验证微积分基本定理。定义 F(x) = \int_0^x t^2\, dt = \frac{x^3}{3}，检验它的导数（用 jax.grad 计算）是否等于 x^2。

import jax
import jax.numpy as jnp

F = lambda x: x**3 / 3
dF = jax.grad(F)

for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
    print(f"x={x:.1f}  F'(x)={dF(x):.4f}  x^2={x**2:.4f}")
​

3. 可视化 f(x) = \sin(x) 从 0 到 \pi 的曲线下面积。用 plt.fill_between 把面积涂上阴影，并用黎曼和数值计算它。

import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

x = jnp.linspace(0, jnp.pi, 500)
y = jnp.sin(x)

plt.plot(x, y, color="purple", linewidth=2)
plt.fill_between(x, y, alpha=0.2, color="purple")
plt.title(f"Area = {jnp.sum(jnp.sin(x) * (jnp.pi / 500)):.4f}  (exact: 2.0)")
plt.show()
​