02 持久同调核心概念

第 2 章 持久同调核心概念

本章建立数学底座：单纯形 → 链复形 → 同调 → 过滤 → 持久。读完后你应能向同事解释「持久图上的一个点代表什么」。

2.1 为什么需要代数拓扑

给定点云，人眼能识别「一个环」「两团分开的点」。算法需要可计算、可比较的「形状摘要」。同调群（Homology Group）用代数方式计数：

持久同调进一步问：这些特征在不同尺度下何时出现、何时消失？

2.2 单纯形与单纯复形

单纯形（Simplex）

• 0-单纯形：顶点
• 1-单纯形：边（两个顶点）
• 2-单纯形：实心三角形（三个顶点）
• k-单纯形：k+1 个仿射无关顶点张成的凸包

单纯复形（Simplicial Complex）

满足闭包性的单纯形集合：复形里三角形的每条边、每个顶点也必须在复形中。

        v2
       / \
      /   \
    v0 --- v1

若 {v0,v1,v2} 在复形中，则 {v0,v1}、{v1,v2}、{v0,v2} 及 {v0}、{v1}、{v2} 均须在复形中
​

点云本身不是复形——我们需要构造复形（第 3 章 Vietoris-Rips）。

2.3 边界算子与同调

链（Chain）

k-维链是 k-单纯形的形式线性组合（系数在域 F 中，Ripser 默认 F = Z/2Z，即 mod 2）。

边界算子 ∂

∂ 把 k-链映到 (k−1)-链：对每个 k-单纯形，求其 (k−1) 维面的交替和。

三角形 [v0, v1, v2] 的边界 = 边[v0,v1] - 边[v1,v2] + 边[v0,v2]
​

关键性质：∂∂ = 0（边界的边界为零）——这保证 im(∂_{k+1}) ⊆ ker(∂_k)。

同调群

[
H_k = \ker(\partial_k) / \mathrm{im}(\partial_{k+1})
]

• ker(∂_k)：k-维循环（cycle），「绕一圈回来」
• im(∂_{k+1})：k-维边界（boundary），「某个更高维东西的壳」
• 商空间：把「能填成实心的循环」模掉，剩下真正的「洞」

Betti 数 β_k = H_k 的秩 = 独立 k 维拓扑特征个数。

2.4 过滤与条形码

过滤（Filtration）

一族嵌套的复形：

[
K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n
]

每个 (K_i) 附带一个参数 (t_i)（如 VR 半径）。随参数增大，复形只增不减。

特征的出生与死亡

• birth：某同调类首次出现在 (K_b) 中
• death：它被填平（成为边界）或随过滤结束而消失于 (K_d)

参数 t:  0 ──────► t_b ──────► t_d ──────► ∞
              birth          death
复形:   小 ──► 出现环 ──► 三角形填洞 ──► 大
​

条形码（Barcode）

每个特征一条线段 [birth, death]；持久性 persistence = death − birth。

持久图（Persistence Diagram）

把每条线段画成平面上的点 (birth, death)。对角线 birth = death 表示零持久性。

death
  │     ·  ← 噪声（靠近对角线）
  │         ·
  │              ★  ← 显著特征（远离对角线）
  └──────────────── birth
​

2.5 持久同调算法（直觉）

完整算法涉及矩阵化简（column algorithm）或 cohomology 路径（Ripser 采用后者，见第 8 章）。核心流程：

过滤复形 K_0 ⊆ K_1 ⊆ ... ⊆ K_n
        │
        ▼
按 filtration 顺序处理 k-单纯形（先低维后高维）
        │
        ▼
维护「已约化边界矩阵」或等价结构
        │
        ▼
记录每个同调生成元的 (birth, death)
        │
        ▼
输出各维持久图 dgms[d]
​

Ripser 的突破在于：不显式构造整个复形，在边插入顺序上增量计算，复杂度接近最优。

2.6 与 Ripser.py 输出的对应

2.7 上同调 vs 同调（预告）

Ripser 计算的是持久上同调（Persistent Cohomology），结果与同调同构（在有限域系数下维数一致），持久图相同。但 do_cocycles=True 时返回的是上循环（cocycle） 代表元——对偶视角，便于提取具体几何代表。详见第 8 章。

2.8 常见误解

⚠️ 系数域：默认 mod 2 时，定向信息丢失（如 Möbius 带与圆柱 H1 维数相同）。需定向或 torsion 信息时换 coeff（第 8 章）。

2.9 动手实验

1. 画三个圆环点云（小、中、大半径），各算 H1，比较显著点的 birth/death 数值范围。
2. 对两团明显分离的点云算 H0，数 dgms[0] 中有几条 persistence 很大的 bar。
3. 阅读附录 A 中「Betti 数」「filtration」「barcode」三条，用自己的话写一句定义。
4. 思考：为何分离的两团点 H0 至少有两个长条 birth≈0？

本章小结

• 单纯复形由单纯形闭包构成；同调群 H_k 计数 k 维洞/分量。
• 过滤是一族嵌套复形；持久同调追踪每个特征 birth/death。
• 持久图 (birth, death) 远离对角线通常更显著。
• Ripser 高效计算 VR 持久上同调，输出 dgms 即各维持久图。

配套可运行示例

本章的标准点云（圆环、双圆环、球面、环面、随机点）可以用下面这套生成函数构造，便于验证拓扑预期。下面是完整的点云生成与持久同调计算脚本：

"""标准点云生成与持久同调计算完整示例。

提供圆环、双圆环、球面、环面、随机点五种标准点云生成器，
并对每种点云计算持久同调，验证拓扑预期（H0/H1 的显著特征）。
依赖：pip install ripser numpy
"""
import numpy as np
from ripser import ripser


def sample_circle(n=100, radius=1.0, noise=0.05, seed=0):
    """单位圆周上的带噪点云（H1 有一个显著洞）。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, n, endpoint=False)
    pts = np.column_stack([np.cos(theta), np.sin(theta)]) * radius
    return pts + rng.standard_normal(pts.shape) * noise


def sample_sphere(n=200, radius=1.0, noise=0.05, seed=0):
    """3D 球面上的均匀采样（H2 可能有显著点）。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    pts = rng.standard_normal((n, 3))
    pts /= np.linalg.norm(pts, axis=1, keepdims=True)
    return pts * radius + rng.standard_normal(pts.shape) * noise


def sample_random(n=100, dim=2, seed=0):
    """均匀随机点（对照：无显著拓扑）。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    return rng.uniform(-1, 1, size=(n, dim))


def summarize(dgms, name):
    """打印各维度的点数与最大持久。"""
    print(f"\n[{name}]")
    for d, dgm in enumerate(dgms):
        pers = dgm[:, 1] - dgm[:, 0]
        pers = pers[np.isfinite(pers)]
        if len(pers):
            print(f"  H{d}: {len(dgm)} 点, max persistence = {pers.max():.4f}")
        else:
            print(f"  H{d}: 0 点")


def main():
    # 圆环：H1 应有一个显著洞
    circle = sample_circle(n=120, noise=0.05, seed=42)
    summarize(ripser(circle, maxdim=1)['dgms'], "圆环 (期望 H1 一个显著洞)")

    # 球面：H2 可能有显著点
    sphere = sample_sphere(n=200, noise=0.03, seed=7)
    summarize(ripser(sphere, maxdim=2)['dgms'], "球面 (期望 H2 有显著点)")

    # 随机点：无显著拓扑
    rand = sample_random(n=120, dim=2, seed=11)
    summarize(ripser(rand, maxdim=1)['dgms'], "随机点 (期望无显著拓扑)")


if __name__ == "__main__":
    main()
​

💡 「VR 复形随半径演化」示例展示圆环的 Betti 数随 ε 演化：β0 从 100 降到 1（合并），β1 在某区间为 1（洞存活）再归 0（洞填平）——这是理解 birth/death 最直观的过程。

下一章：Vietoris-Rips 过滤原理——点云如何变成可计算的复形。