03 Vietoris-Rips 过滤原理

第 3 章 Vietoris-Rips 过滤原理

点云本身不是复形。本章讲清 Vietoris-Rips（VR）复形 如何从距离矩阵构造过滤，以及 thresh、maxdim 如何影响结果与性能。

3.1 从点云到距离矩阵

给定 n 个点 (X = {x_1, \ldots, x_n} \subset \mathbb{R}^d)，先算两两距离：

[
d(x_i, x_j) = |x_i - x_j|
]

Ripser 默认用 scikit-learn 的 pairwise_distances，支持 euclidean、manhattan、cosine 及自定义 callable。

点云 X (n × d)
      │
      ▼  metric='euclidean'
距离矩阵 D (n × n)，对称，对角线为 0
      │
      ▼
VR 过滤 + 持久同调
​

也可直接传入预计算的距离矩阵（distance_matrix=True），见第 6 章。

3.2 Vietoris-Rips 复形定义

给定尺度参数 (\varepsilon \geq 0)：

VR 复形 VR(X, ε) 包含所有满足 直径条件 的单纯形：

• 0-单纯形：所有点
• k-单纯形 (\sigma = [v_{i_0}, \ldots, v_{i_k}])：当且仅当 任意两点距离 ≤ ε

等价表述：边 (i,j) 在 VR(ε) 中当且仅当 (d_{ij} \leq \varepsilon)；高维单纯形存在当且仅当其所有边都存在。

半径 ε 增大时的演化

ε 很小：只有点，H0 有 n 个分量
    │
    ▼ 加入短边
ε 中等：近点连成边，H0 分量合并；足够长的环出现 → H1 生成元 birth
    │
    ▼ 继续增大
ε 很大：三角形填满环 → H1 生成元 death；最终单连通
​

3.3 ASCII 示例：四点方环

    v1 -------- v2
    |           |
    |           |
    v0 -------- v3

边长均为 1，对角线约 1.41

ε = 0.5   → 只有 4 个顶点，4 个 H0
ε = 1.0   → 4 条边，1 个 H0，1 个 H1（方环 birth ≈ 1.0）
ε = 1.42  → 对角线边出现，可能出现三角形
ε = 1.42+ → 三角形填洞，H1 death ≈ 1.42
​

3.4 过滤参数与 Ripser

maxdim 与计算量

维数每增 1，需考虑的单纯形类型增多，组合爆炸。实践建议：

• 2D/3D 点云形状：通常 maxdim=1 足够
• 3D 表面空腔：可试 maxdim=2，配合 thresh 限制
• maxdim=3 及以上：仅小规模或研究场景

3.5 VR 的优缺点

优点

• 定义只依赖距离，与坐标系无关
• 实现成熟，Ripser 极快
• 与 Čech 复形有理论关系（VR 是 Čech 的近似）

缺点

• 简单x高维：三点两两近但整体远时，VR 会加入「虚假高维单纯形」（需要 Čech 或 Alpha 复形缓解）
• 对 非均匀采样 敏感：稀疏区域环可能提前 death
• 边数随 ε 增长可接近 O(n²) 或更高

💡 Alpha 复形（GUDHI 等库）用 Delaunay 三角化限制单纯形，常更贴合几何；Ripser.py 专注 VR 及其变体，工程上通过 thresh 与稀疏化控制规模。

3.6 与 Čech 复形的对比

Nerve 引理：在「好覆盖」下 Čech 同调与空间同调一致；VR 是常用可计算替代。

3.7 代码：观察 VR 过滤中的边数

import numpy as np
from ripser import ripser

# 圆环
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100, endpoint=False)
data = np.column_stack([np.cos(theta), np.sin(theta)])

for thresh in [0.5, 1.0, 1.5, np.inf]:
    r = ripser(data, maxdim=1, thresh=thresh)
    h1 = r['dgms'][1]
    # 过滤掉对角线点 (birth==death)
    pers = h1[:, 1] - h1[:, 0]
    pers = pers[np.isfinite(pers)]
    print(f"thresh={thresh:5.1f}  edges={r['num_edges']:5d}  "
          f"H1 count={len(h1)}  max_pers={pers.max():.3f}")
​

观察：num_edges 随 thresh 单调增；thresh 过小可能尚无 H1 或 H1 立即 death。

3.8 thresh 选取经验

1. k-近邻距离图：看第 k 近邻距离分布，取略大于「环尺度」的值。
2. 多次扫描：对 thresh 做对数网格，看 H1 显著点是否稳定——稳定平台即合理区间。
3. 与点云直径比较：thresh 超过点云直径时复形趋于单连通，H1 大量 death。

详见第 9 章工程实践。

3.9 动手实验

1. 构造 8 字形 两圆相切点云，算 H1，看是否有 两个 远离对角线的点。
2. 固定 maxdim=1，画 thresh 从 0.3 到 2.0 时 max H1 persistence 曲线。
3. 对 3D 球面点云（可用随机单位向量 + 小噪声）算 H1 与 H2（maxdim=2），对比 H1 是否为空、H2 是否显著。
4. 回顾第 2 章：解释圆环 H1 的 birth 为何接近「相邻点间距量级」。

本章小结

• VR(ε) 包含所有边长 ≤ ε 的单纯形；ε 增大使复形单调扩张。
• thresh 控制最大 ε，是性能与完整性的首要杠杆。
• maxdim 决定算到几维同调，越高越贵。
• num_edges 反映过滤规模，可用于监控计算成本。

下一章：ripser 核心 API——函数与类的完整参数与返回值。