05 持久图解读与可视化

第 5 章 持久图解读与可视化

算出 dgms 只是开始。本章教你 如何读图、如何用 persim 可视化、如何用瓶颈距离比较两次实验，并介绍将持久图转为机器学习特征的常见思路。

5.1 持久图的几何解读

坐标轴

• 横轴 birth：特征出现的过滤尺度（VR 下≈边长/半径）
• 纵轴 death：特征消失的尺度；对角线 birth = death → 零持久性

显著性启发式

import numpy as np

def top_features(dgm, k=5):
    pers = dgm[:, 1] - dgm[:, 0]
    mask = np.isfinite(pers)
    idx = np.argsort(pers[mask])[-k:]
    return dgm[mask][idx], pers[mask][idx]

dgm1 = result['dgms'][1]
top, pers = top_features(dgm1, k=3)
for row, p in zip(top, pers):
    print(f"birth={row[0]:.3f} death={row[1]:.3f} pers={p:.3f}")
​

5.2 各维典型模式

H0（连通分量）

• n 个点初始 n 个分量，birth 多为 0
• 随 ε 增大，分量合并，产生 death
• 最后一条 往往 persistence 最大（最后两个大簇合并）

H1（环）

• 圆环、环面切片：少量高持久点
• 随机噪声：大量靠近对角线的点

H2（空腔）

• 3D 球面点云：H2 可有显著点（球面包围空腔）
• 计算成本高，需足够采样密度

5.3 persim 基础可视化

from persim import plot_diagrams

# 多维同一张图，不同颜色
plot_diagrams(
    result['dgms'],
    labels=['H0', 'H1'],
    show=True,
)
​

Rips 类封装：

rips = Rips(maxdim=1)
dgms = rips.fit_transform(data)
rips.plot(dgms)
​

条形码视图

from persim import plot_bars

plot_bars(result['dgms'][1], show=True)
​

条形码与持久图一一对应：每条水平线段 [birth, death]。

5.4 比较两次实验：瓶颈距离

瓶颈距离（Bottleneck Distance） 是两持久图之间 W∞ 最优匹配的匹配距离，是持久同调稳定性定理中的自然度量。

from persim import bottleneck

dgm_a = ripser(data_a, maxdim=1)['dgms'][1]
dgm_b = ripser(data_b, maxdim=1)['dgms'][1]

# 需去掉 inf death 或 persim 内部处理
dist, matching = bottleneck(dgm_a, dgm_b)
print("bottleneck H1:", dist)
​

用途：

• 对比不同噪声水平下圆环是否「拓扑相似」
• 验证 n_perm 子采样是否改变形状摘要

💡 稳定性定理（直观）：点云微小扰动（Hausdorff 意义下）导致持久图瓶颈距离有界——这是 TDA 抗噪声的理论依据。

5.5 持久图向量化（ML 接口）

持久图是可变长度的点集，进机器学习需向量化。常见方法：

persim 提供 PersistenceImager 等工具；giotto-tda 提供 Pipeline 封装。

# 概念示例：手工统计特征
def persistence_stats(dgms):
    feats = []
    for d, dgm in enumerate(dgms):
        p = dgm[:, 1] - dgm[:, 0]
        p = p[np.isfinite(p)]
        feats.append(p.max() if len(p) else 0)
        feats.append(p.mean() if len(p) else 0)
    return np.array(feats)
​

详见第 10 章 ML 集成。

5.6 可视化陷阱

⚠️ 多实验比较：应用相同 thresh、maxdim、coeff，否则瓶颈距离混合了参数效应与数据效应。

5.7 案例：圆 vs 随机

import numpy as np
from ripser import ripser
from persim import plot_diagrams, bottleneck

# 圆环
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100, endpoint=False)
circle = np.column_stack([np.cos(theta), np.sin(theta)])
circle += 0.05 * np.random.randn(*circle.shape)

# 随机
random = np.random.rand(100, 2)

dgms_c = ripser(circle, maxdim=1)['dgms']
dgms_r = ripser(random, maxdim=1)['dgms']

# H1 瓶颈距离应较大
d, _ = bottleneck(dgms_c[1], dgms_r[1])
print("circle vs random H1 bottleneck:", d)
​

5.8 动手实验

1. 对圆环画 H0 条形码，数有几条「长」bar——对应几次主要合并。
2. 固定数据，将噪声从 0.05 增到 0.4，画 H1 最大 persistence 曲线。
3. 用 bottleneck 比较同一圆环两次独立采样的 H1——距离应较小。
4. 实现 persistence_stats，对 10 个圆环 vs 10 个随机集提取特征，用简单分类器区分（预告 ML 管线）。

本章小结

• 远离对角线的点通常更显著；H0/H1/H2 各有典型形态。
• persim 提供 plot_diagrams、plot_bars、bottleneck。
• 瓶颈距离是比较持久图的标准度量，有稳定性理论支撑。
• 进 ML 需向量化：持久图像、景观或统计摘要。

下一章：距离矩阵、稀疏过滤与贪心置换——大规模数据的加速之道。