08 代表上循环与系数域

文档摘要

第 8 章代表上循环与系数域

Ripser 计算 持久上同调 而非同调本身——持久图相同，但可额外输出 代表上循环（cocycles）。本章还讲解 系数域 Z/pZ 的选择，以及 Möbius 带等需要定向信息的案例。

8.1 同调 vs 上同调（对偶视角）

	同调 Homology	上同调 Cohomology
链	k-链 on k-单纯形	k-上链 on k-单纯形
算子	边界 ∂	上边界 δ（∂ 的转置）
群	H_k = ker ∂ / im ∂	H^k = ker δ / im δ
持久图	相同（有限域系数下维数一致）	Ripser 实际计算路径

为什么 Ripser 用上同调：算法实现更高效（cohomology algorithm），且 cocycle 代表元 便于提取具体几何信息。

8.2 开启 cocycles


import numpy as np
from ripser import ripser

# Möbius 带或圆环点云
data = ...  # 适当采样

result = ripser(data, maxdim=1, coeff=17, do_cocycles=True)

dgms = result['dgms']
cocycles = result['cocycles']

# cocycles[d][k] 与 dgms[d][k] 一一对应
print(len(dgms[1]), len(cocycles[1]))

cocycle 数据格式

cocycles[d][k] 是 ndarray，形状 (m, d+1)：

前 d 列：单纯形顶点在原点云中的索引
最后一列：该上循环在该单纯形上的 系数值（在 Z/pZ 中）


dim=1 时每行 [i, j, value] 表示边 (i,j) 上的 cocycle 值

索引指向 原始点云，即使用 n_perm 子采样也映射回原索引。

8.3 从 cocycle 到几何解释

对 H1 生成元，非零 cocycle 值所在的边往往形成 近似代表环：


import numpy as np

def cocycle_support_edges(cocycle_1d):
    """提取 1-cocycle 非零边 (i,j)"""
    edges = []
    for row in cocycle_1d:
        i, j, val = int(row[0]), int(row[1]), row[2]
        if val % 17 != 0:  # 系数域 mod 17 示例
            edges.append((min(i,j), max(i,j)))
    return edges

cyc = cocycles[1][0]  # 第一个 H1 特征
edges = cocycle_support_edges(cyc)

可视化：在点云上 高亮这些边，可看到「洞」绕哪一圈。

💡 对偶约定：文献中 cohomological birth 与 homological death 可对调；Ripser 输出仍采用 同调惯例 的 birth/death 标注持久图，与 dgms 一致。

8.4 系数域 coeff


result = ripser(data, coeff=2)   # 默认 Z/2Z
result = ripser(data, coeff=17)  # Z/17Z
result = ripser(data, coeff=3)   # Z/3Z

coeff 必须是素数 p，计算在 Z/pZ 上进行。

coeff	特点
2（默认）	最快；无定向；torsion 信息丢失
奇素数	可检测某些 torsion 现象
大素数	更接近整数系数行为，计算更慢

Möbius 带示例（概念）

Z/2Z：H1 维数为 1，与圆柱无法区分
Z/3Z 等：可能看到不同的 persistence 行为，反映定向/torsion

官方教程「Moebius Strip And The Field of Coefficients」演示了换 coeff 对比持久图。

8.5 Rips 类中的 cocycles


from ripser import Rips

rips = Rips(maxdim=1, do_cocycles=True, coeff=3)
rips.fit_transform(data)

# transform 后
rips.cocycles_  # 与 result['cocycles'] 相同结构

8.6 何时需要 cocycles

需求	是否开启
只要持久图做分类	否（省内存与时间）
解释「洞在哪」	是
映射回原始数据（边、三角形）	是
与 cup product 等高级 TDA	是（超出本教程范围）

do_cocycles=False 时 cocycles 仍存在于 dict 中但为空列表。

8.7 内存与性能

cocycles 存储每个生成元的稀疏表示，维数高、特征多时 内存显著增加。建议：

仅对需要的 maxdim 开启
先用 n_perm 或 thresh 缩小复形

8.8 动手实验

圆环点云 do_cocycles=True，画 cocycle 支撑边叠加在散点上。
同一数据 coeff=2 vs coeff=17，对比 H1 持久图是否一致（圆环通常一致）。
查阅 Möbius 带点云示例思路，换 coeff 观察差异（若可构造数据）。
验证 dgms[1][k] 与 cocycles[1][k] 索引 k 一一对应。

本章小结

Ripser 走持久上同调路径，持久图与同调一致。
do_cocycles=True 得代表上循环，格式为 (索引..., 系数)。
coeff 选择素数 p，默认 2 最快；定向/torsion 需更大 p 或不同域。
cocycles 用于几何解释，有额外内存成本。

下一章：工程实践要点——参数、性能、可复现与落地清单。