02 长记忆与 Hurst 指数核心概念

第 2 章 长记忆与 Hurst 指数核心概念

本章建立 DFA 所需的数学底座：什么是长记忆？Hurst 指数如何刻画标度？为什么 DFA 要对累积和做分析？

2.1 从白噪声到长记忆过程

2.1.1 白噪声（White Noise）

若增量序列 {x(t)} 独立同分布、均值为 0、方差有限，则：

• 自相关函数 ρ(k) ≈ 0（k > 0）
• Hurst 指数 H ≈ 0.5
• 累积和 Y(t) = Σ x(i) 的行为类似随机游走

白噪声是 DFA 的零假设基准：F(n) ~ n^0.5。

2.1.2 长记忆过程（Long-Memory Process）

当自相关函数以幂律衰减：

[
\rho(k) \sim k^{-\gamma}, \quad 0 < \gamma < 1
]

序列具有长记忆： distant 过去仍对 present 有显著影响。

与 Hurst 指数的关系（高斯平稳过程）：

[
H = \frac{1 + \gamma}{2}
]

2.1.3 分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）

fBm B_H(t) 是 H ∈ (0,1) 的连续高斯过程，满足：

[
\text{Var}[B_H(t) - B_H(s)] \sim |t - s|^{2H}
]

fBm 的增量（分数高斯噪声 fGn）是研究 DFA 的标准合成数据：理论 H 已知，可验证算法。

2.2 为什么 DFA 分析累积和 profile？

DFA 不直接对原始增量 {x(t)} 做分析，而是对积分/profile：

[
Y(t) = \sum_{i=1}^{t} [x(i) - \bar{x}]
]

原因有三：

1. 消除均值：减去均值使 profile 从 0 附近出发，避免常数偏移干扰波动计算。
2. 放大长记忆：持久性增量使 profile 呈现「超扩散」随机游走形态；反持久性则「亚扩散」。
3. 与 R/S 分析等价框架：DFA 可视为改进的 R/S 分析，profile 是共同起点。

fathon 中这一步由 fathonUtils.toAggregated 完成（第 8 章详解）。

2.3 Hurst 指数的几何含义

在 DFA 框架下，窗口大小为 n 时，去趋势后的均方波动：

[
F(n) = \sqrt{\frac{1}{N_n} \sum_{\nu=1}^{N_n} \text{Var}[Y_\nu(i)]}
]

其中 Y_ν(i) 是第 ν 个窗口内去趋势后的 profile 残差。

标度律：

[
F(n) \sim n^H
]

在双对数坐标下，log F(n) 对 log n 的斜率 = H。

log F(n)
    │         ╱  H > 0.5 持久（斜率更陡）
    │       ╱
    │     ╱────  H = 0.5 白噪声
    │   ╱
    │ ╱       H < 0.5 反持久（斜率更平）
    └──────────────── log n
​

2.4 DFA vs R/S 分析

实践建议：有明确多项式趋势（线性漂移、抛物线趋势）的序列优先用 DFA，并适当提高 polOrd（第 9 章）。

2.5 自相似与标度不变性

自相似（self-similarity）：序列在不同时间尺度上统计性质相似。Hurst 指数是**单标度（monofractal）**参数——全序列用一个 H 描述。

当不同波动幅度对应不同标度指数时，序列是**多分形（multifractal）**的，需用 MFDFA（第 5 章）通过广义 Hurst h(q) 描述。

判断流程：

DFA 得到 H
    │
    ├─ H 稳定、multiFit 各区间 H 接近 → 单标度，DFA 足够
    │
    └─ 不同 q / 不同尺度 H 差异大 → 多分形，转 MFDFA
​

2.6 合成数据：验证 DFA 的「金标准」

下面用随机游走（理论 H = 1）和白噪声 profile（理论 H = 0.5）验证 fathon 输出。完整 fBm 生成较复杂，第 10 章介绍 Davies-Harte 等方法。

import numpy as np
import fathon
from fathon import fathonUtils as fu

np.random.seed(123)
N = 20000
wins = fu.linRangeByStep(10, N // 4)

def estimate_H(increments, label, theory):
    profile = fu.toAggregated(increments)
    dfa = fathon.DFA(profile)
    n, F = dfa.computeFlucVec(wins, revSeg=True, polOrd=1)
    H, _ = dfa.fitFlucVec()
    err = abs(H - theory)
    print(f"{label:12s}  H={H:.4f}  理论={theory}  误差={err:.4f}")
    return n, F, H

# 白噪声增量
white = np.random.randn(N)
estimate_H(white, "白噪声", 0.5)

# 随机游走增量 = 白噪声的累积差分
rw = np.diff(np.cumsum(np.random.randn(N + 1)))
estimate_H(rw, "随机游走", 1.0)
​

2.7 非平稳性与去趋势

真实数据常含：

• 趋势：人口增长、通胀
• 季节性：日周期、年周期
• 结构突变：政策变更、市场崩盘

DFA 的局部去趋势（polOrd 参数）可去除窗口内的低阶多项式趋势。注意：

• polOrd=1：去除线性趋势（最常用）
• polOrd=2：去除二次趋势
• 阶数过高可能过度去趋势，把长记忆信号也去掉（第 9 章详述）

2.8 应用领域速览

2.9 本章小结

2.10 动手实验

1. 用 np.cumsum(np.random.randn(N)) 的一阶差分作为增量，与直接白噪声对比 H。
2. 阅读第 3 章后，解释为何随机游走 profile 的 H 接近 1 而非 0.5。
3. 思考：对已是对数价格的序列，应使用增量还是原序列做 toAggregated？（提示：通常分析收益率增量。）

2.11 配套可运行示例

本章建立的概念可以立刻用配套示例验证直觉（位于教程包的「配套示例」模块）：

💡 建议先运行「白噪声与随机游走对比」示例，肉眼对照双对数图，把「F(n) ~ n^H」从公式变成直觉。

下一章逐步推导 DFA 算法，对照 fathon 的 computeFlucVec 理解每一步在算什么。