06 DCCA 与 MFDCCA 双序列分析

第 6 章 DCCA 与 MFDCCA 双序列分析

当研究两个时间序列之间的长记忆交叉相关时，使用 DCCA 与 MFDCCA。本章涵盖波动函数、Hurst 估计、ρ_DCCA 指数及置信区间。

6.1 为什么需要 DCCA？

Pearson 相关系数只衡量线性、平稳关系。金融、气候等领域常见：

• 两序列各自非平稳
• 相关结构随时间尺度变化
• 需要标度意义下的交叉相关

Detrended Cross-Correlation Analysis（DCCA）（Podobnik & Stanley, 2008）将 DFA 的局部去趋势推广到双序列：在同一窗口内同时拟合趋势，计算交叉残差的标度。

MFDCCA 进一步引入 q 阶，分析交叉相关的多分形结构。

6.2 DCCA 算法直觉

给定两条 profile Y₁(t)、Y₂(t)（分别由两序列 toAggregated 得到）：

1. 按窗口 n 同步分段
2. 每段内分别对 Y₁、Y₂ 做 m 阶多项式去趋势，得残差 ε₁、ε₂
3. 计算交叉波动：

[
F^2_{DCCA}(n) = \frac{1}{2N_n}\sum_\nu \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \epsilon_{1,\nu}(i),\epsilon_{2,\nu}(i)
]

4. F_DCCA(n) ~ n^H，H 为交叉 Hurst 指数

与单序列 DFA 的区别：波动来自两序列残差的乘积而非单序列残差平方。

6.3 fathon.DCCA API

构造

import fathon

# 两条 profile 必须长度相同
dcca = fathon.DCCA(tsVec1, tsVec2)
​

computeFlucVec

n, F = dcca.computeFlucVec(
    winSizes,
    polOrd=1,
    absVals=True,    # True：用 |ε₁|、|ε₂| 计算（默认）
    overlap=False,   # True：重叠窗口
    revSeg=False
)
H, intercept = dcca.fitFlucVec()
​

computeRho — 交叉相关系数 ρ_DCCA

n, rho = dcca.computeRho(winSizes, polOrd=1, overlap=False, revSeg=False)
​

ρ(n) 在每个尺度 n 上给出去趋势交叉相关系数，用于判断两序列在该尺度上正/负相关。

rhoThresholds — 置信区间

对独立随机序列蒙特卡洛模拟，得到 ρ 的置信带：

# 空构造：无需真实数据
dcca_empty = fathon.DCCA()
n, cInt1, cInt2 = dcca_empty.rhoThresholds(
    L=300,           # 模拟序列长度
    winSizes=wins,
    nSim=100,        # 模拟次数
    confLvl=0.95,    # 95% 置信水平
    polOrd=1
)
​

若实测 ρ(n) 超出 [cInt1, cInt2]，则在该尺度上显著相关。

6.4 DCCA 完整示例

import numpy as np
import fathon
from fathon import fathonUtils as fu
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)
L = 10000

# 构造相关序列：共享因子 + 独立噪声
common = np.cumsum(np.random.randn(L))
noise1 = np.random.randn(L) * 0.3
noise2 = np.random.randn(L) * 0.3
x1 = np.diff(common) + noise1
x2 = np.diff(common) + noise2

p1 = fu.toAggregated(x1)
p2 = fu.toAggregated(x2)

wins = fu.linRangeByStep(20, L // 4, step=10)

dcca = fathon.DCCA(p1, p2)
n, F = dcca.computeFlucVec(wins, polOrd=1, absVals=True, revSeg=True)
H, _ = dcca.fitFlucVec()

# ρ 指数（较小窗口范围）
wins_rho = fu.linRangeByStep(20, 200, step=20)
n_rho, rho = dcca.computeRho(wins_rho, polOrd=1)

# 置信区间
dcca_ref = fathon.DCCA()
n_ci, lo, hi = dcca_ref.rhoThresholds(300, wins_rho, nSim=200, confLvl=0.95)

# ── 可视化 ──
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))

axes[0].loglog(n, np.abs(F), 'o-', ms=3)
axes[0].set_xlabel('n'); axes[0].set_ylabel('|F_DCCA(n)|')
axes[0].set_title(f'交叉波动标度  H={H:.3f}')

axes[1].plot(n_rho, rho, 'b-o', ms=4, label='ρ_DCCA')
axes[1].fill_between(n_ci, lo, hi, alpha=0.2, color='gray', label='95% 独立零假设')
axes[1].axhline(0, color='k', lw=0.5)
axes[1].set_xlabel('n'); axes[1].set_ylabel('ρ')
axes[1].set_title('交叉相关系数 vs 尺度')
axes[1].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()
print(f"交叉 Hurst H = {H:.4f}")
​

6.5 fathon.MFDCCA API

接口与 MFDFA 平行，但输入为两条 profile：

mfdcca = fathon.MFDCCA(tsVec1, tsVec2)

n, F = mfdcca.computeFlucVec(
    winSizes,
    qList,           # q 阶列表
    polOrd=1,
    revSeg=False
)
h_q, _ = mfdcca.fitFlucVec()
tau = mfdcca.computeMassExponents()
alpha, mfSpect = mfdcca.computeMultifractalSpectrum()
​

MFDCCA 完整示例

import numpy as np
import fathon
from fathon import fathonUtils as fu

np.random.seed(0)
L = 8000
base = np.random.randn(L)
p1 = fu.toAggregated(base)
p2 = fu.toAggregated(base * 0.7 + np.random.randn(L) * 0.3)

wins = fu.linRangeByStep(10, L // 4, step=5)
q_list = np.arange(-2, 5, 0.5)

mfdcca = fathon.MFDCCA(p1, p2)
n, F = mfdcca.computeFlucVec(wins, q_list, revSeg=True)
h_q, _ = mfdcca.fitFlucVec()
tau = mfdcca.computeMassExponents()
alpha, mfSpect = mfdcca.computeMultifractalSpectrum()

print("h(q=2) =", h_q[np.argmin(np.abs(q_list - 2))])
print("Δh =", h_q.max() - h_q.min())
​

6.6 DCCA vs Pearson vs 小波相干

6.7 应用场景

6.8 参数建议

6.9 本章小结

序列 x, y ──► toAggregated ──► Y1, Y2
                                  │
                    DCCA(Y1, Y2) ──► F_DCCA(n) ──► H
                                  │
                              computeRho ──► ρ(n)
                                  │
                         rhoThresholds ──► 置信带

                    MFDCCA(Y1, Y2) ──► F_q(n) ──► h(q), τ, f(α)
​

6.10 动手实验

1. 对两列独立白噪声跑 DCCA，验证 ρ(n) 大多落在置信带内。
2. 构造完全相同的 profile 复制，H 与 ρ 应如何表现？
3. 比较 absVals=True/False 对 F(n) 的影响。

6.11 配套可运行示例

本章有两个配套示例：「DCCA 交叉相关分析」（构造耦合序列对，算交叉 H、ρ_DCCA、95% 置信带，自动判定显著尺度）与「MFDCCA 双序列多分形」（输出 h(q)/τ(q)/f(α)）。下面给出 DCCA 的完整可运行脚本：

"""DCCA 双序列交叉相关分析完整示例。

构造一对共享因子的序列，计算交叉 Hurst、ρ_DCCA 与独立零假设置信带，
自动判定哪些尺度上两序列显著相关。
依赖：pip install fathon numpy
"""
import numpy as np
import fathon
from fathon import fathonUtils as fu


def make_coupled_pair(L, seed=42):
    """构造一对共享因子的序列：交叉相关显著。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    common = np.cumsum(rng.standard_normal(L))
    noise1 = rng.standard_normal(L) * 0.3
    noise2 = rng.standard_normal(L) * 0.3
    x1 = np.diff(common) + noise1
    x2 = np.diff(common) + noise2
    return x1, x2


def main():
    np.random.seed(42)
    L = 10000
    x1, x2 = make_coupled_pair(L)
    p1, p2 = fu.toAggregated(x1), fu.toAggregated(x2)

    wins = fu.linRangeByStep(20, L // 4, step=10)

    # ── DCCA 交叉标度 ──
    dcca = fathon.DCCA(p1, p2)
    n, F = dcca.computeFlucVec(wins, polOrd=1, absVals=True, revSeg=True)
    H, _ = dcca.fitFlucVec()
    print(f"交叉 Hurst H = {H:.4f}")

    # ── ρ_DCCA：交叉相关系数 vs 尺度 ──
    wins_rho = fu.linRangeByStep(20, 200, step=20)
    n_rho, rho = dcca.computeRho(wins_rho, polOrd=1)

    # ── 置信带：对独立随机序列蒙特卡洛模拟 ──
    # 空构造（无数据），用模拟的独立序列估算零假设分布
    dcca_ref = fathon.DCCA()
    n_ci, lo, hi = dcca_ref.rhoThresholds(300, wins_rho, nSim=100, confLvl=0.95)

    # ── 显著性判断：ρ 超出置信带的尺度即为显著相关 ──
    significant = (rho < lo) | (rho > hi)
    print(f"显著相关尺度占比：{significant.mean():.0%}")
    print("（ρ 超出置信带的尺度上，两序列的去趋势交叉相关显著。）")
    print("这是 Pearson 相关系数给不了的多尺度信息。")


if __name__ == "__main__":
    main()
​

💡 「显著相关尺度占比」这个输出，能直观告诉你「两序列在多大窗口上真的有交叉相关」——小尺度显著而大尺度不显著，往往暗示耦合是短程的；反之则是长程联动。

下一章介绍 HT：Hurst 指数随时间/尺度变化的局部估计。