01-伽利略变换的失效

文档摘要

伽利略变换的失效本节摘要:在第 1 章我们看到,麦克斯韦方程组预言的光速 c 与伽利略速度合成法则冲突;在第 2 章,这一冲突被爱因斯坦升华为公设——光速不变原理。本节严格证明:伽利略变换($x' = x - vt$,$t' = t$)在光速不变原理下必然失效。失效的根源不在 $x' = x - vt$ 这一项,而在 $t' = t$ 这个看似天经地义的等式——它假设了绝对时间。一旦放弃绝对时间,伽利略变换就让位于它的"相对论版本"——洛伦兹变换。理解这一失效,是推导洛伦兹变换的必要准备。一、回顾伽利略变换我们在第 1 章已经见过伽利略变换。

伽利略变换的失效

本节摘要:在第 1 章我们看到,麦克斯韦方程组预言的光速 c 与伽利略速度合成法则冲突;在第 2 章,这一冲突被爱因斯坦升华为公设——光速不变原理。本节严格证明:伽利略变换(x' = x - vt,t' = t)在光速不变原理下必然失效。失效的根源不在 x' = x - vt 这一项,而在 t' = t 这个看似天经地义的等式——它假设了绝对时间。一旦放弃绝对时间,伽利略变换就让位于它的"相对论版本"——洛伦兹变换。理解这一失效,是推导洛伦兹变换的必要准备。

一、回顾伽利略变换

我们在第 1 章已经见过伽利略变换。设有两个惯性系 S 与 S',S' 相对 S 以速度 v 沿 x 方向运动,两坐标系原点重合时取 t = t' = 0。则同一个事件在两个坐标系中的关系为:

\begin{aligned} x' &= x - vt \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= t \end{aligned}

最关键的是最后一式 t' = t。它表达的是绝对时间:无论你处于哪个惯性系,你测量到的时间都相同。这是牛顿绝对时空观的数学核心。

由 t' = t 与 x' = x - vt,对时间求导可得速度合成法则:

u' = u - v

这就是经典的速度合成——一个物体在 S 系中速度为 u,在相对 S 以 v 运动的 S' 系中速度就是 u - v。

二、与光速不变原理的冲突

现在把光放进来。设在 S 系中,一束光沿 x 方向以速度 c 传播,即 u = c。按伽利略的速度合成,它在 S' 系中的速度应为:

u' = c - v

但光速不变原理告诉我们,S' 系中的光速仍为 c:

u' = c

这两个等式同时成立,只能推出 v = 0——也就是说,S 与 S' 必须相对静止。这与"两个不同的惯性系"矛盾。

因此,伽利略变换与光速不变原理不能同时成立。两者必须放弃其一。

三、失效的根源:t' = t

伽利略变换中,究竟哪一部分出了问题?

如果只看 x' = x - vt 这一项,它只是说"运动的参照系原点在 S 系中以速度 v 移动",这本身没什么问题——这是参照系定义的直接结果。

问题出在 t' = t。它假设:无论参照系如何运动,时间对所有观察者都相同。正是这个假设,通过求导产生了 u' = u - v,与光速不变冲突。

换句话说:只要承认 t' = t,就必然得到 u' = u - v,就必然与光速不变冲突。要保留光速不变,就必须放弃 t' = t。

这一结论与第 2 章的物理图像完全一致:同时性的相对性告诉我们,"同时"是相对的——既然不同惯性系对"同时"的判断不同,它们测量到的时间差 t' - t 就必然不为零。绝对时间 t' = t 必须被放弃。

四、保留什么?放弃什么?

那么,新的变换应当保留什么、放弃什么?

必须保留的性质

新变换必须满足以下基本要求:

相对性原理:它应当对所有惯性系对称——从 S 到 S' 的变换,与从 S' 到 S 的变换,形式相同(只是 v 换成 -v)。
光速不变:若 S 系中一束光以速度 c 传播,变换后 S' 系中该光仍以 c 传播。
线性:时空是均匀各向同性的,因此变换必须是线性的(不能用 x^2 这样的非线性项)。
低速极限:当 v \ll c 时,新变换应回到伽利略变换——这是对应原理的要求(新理论必须包含旧理论作为极限)。

必须放弃的性质

新变换必须放弃的,只有 t' = t 这一项。具体来说,新的 t' 可能与 x 有关——这正是同时性相对性的数学体现。

关键概念:对应原理

玻尔提出的对应原理指出:新理论在旧理论适用范围的极限下,必须给出与旧理论相同的结果。狭义相对论在低速极限(v \ll c)下,必须回到牛顿力学。这给新变换提供了一个强约束:它的低速极限必须是伽利略变换。

五、对称性论证:变换的形式

利用上述要求,我们可以推断新变换的大致形式。设新变换为:

\begin{aligned} x' &= A(x - vt) \\ t' &= B t + C x \end{aligned}

其中 A、B、C 是待定常数,可能与 v 有关。注意:

x' = A(x - vt) 的形式保留了"S' 原点(在 S' 系中 x' = 0)对应 S 系中 x = vt"这一基本事实。
t' = Bt + Cx 放弃了 t' = t,允许 t' 与 x 有关——这正是同时性相对性的数学表达。

通过以下约束可以确定 A、B、C:

相对性原理(对称性):从 S' 看 S 的变换,应当与从 S 看 S' 的变换形式相同,只是 v 换成 -v。
光速不变:若 x = ct,则 x' = ct'。
低速极限:当 v \ll c 时,A \to 1,B \to 1,C \to 0。

下一节我们将严格求解这些约束,得到的就是洛伦兹变换。这里先给出它的最终形式作为预告:

\begin{aligned} x' &= \gamma(x - vt) \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \end{aligned}

其中:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

这就是著名的洛伦兹因子。当 v \ll c 时,\gamma \approx 1,变换回到伽利略变换——对应原理得以满足。

六、一个数量级的直觉

为了对 \gamma 有一个直观感受,我们计算几个典型速度下的 \gamma 值:

速度 v	\gamma 值	说明
0(静止)	1.000	没有变化
0.1c(日常物体可达)	1.005	相对论效应微弱
0.5c	1.155	效应开始显著
0.866c	2.000	效应翻倍
0.99c	7.09	效应巨大
0.999c	22.4	极端相对论
c(光速本身)	\infty	有质量物体不能达到

注意当 v \to c 时,\gamma \to \infty,这是有质量物体不能达到光速的数学根源。这一现象将在第 6 章详细讨论。


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本节要点回顾

伽利略变换 x' = x - vt、t' = t 与光速不变原理直接冲突:前者推出 u' = u - v,后者要求 u' = c,二者只能选一。
失效的根源不在 x' = x - vt,而在 t' = t——绝对时间的假设。一旦放弃它,伽利略变换就让位于洛伦兹变换。
新变换必须保留:相对性原理、光速不变、线性、低速极限(对应原理)。
新变换必须放弃:t' = t,即 t' 可能与 x 有关——这是同时性相对性的数学表达。
新变换的形式预告为 x' = \gamma(x - vt)、t' = \gamma(t - vx/c^2),其中 \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} 为洛伦兹因子,当 v \to c 时 \gamma \to \infty。

下一节,我们将严格推导这一变换,看清洛伦兹因子 \gamma 是如何从两条公设中必然涌现的。