02-洛伦兹变换的推导

文档摘要

洛伦兹变换的推导本节摘要:本节从两条公设出发,严格推导洛伦兹变换。我们不需要复杂的数学,只需用线性代数与对称性论证。推导的核心是:在新变换中,既要保留伽利略变换的合理结构(线性、低速极限),又要满足光速不变原理(光的世界线在两个系中都是 45° 直线)。结果是一组既优美又反直觉的公式:$x' = \gamma(x - vt)$、$t' = \gamma(t - vx/c^2)$,其中洛伦兹因子 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$。一旦得到这组变换,后续的时间膨胀、长度收缩、速度合成都将自然涌现。

洛伦兹变换的推导

本节摘要:本节从两条公设出发,严格推导洛伦兹变换。我们不需要复杂的数学,只需用线性代数与对称性论证。推导的核心是:在新变换中,既要保留伽利略变换的合理结构(线性、低速极限),又要满足光速不变原理(光的世界线在两个系中都是 45° 直线)。结果是一组既优美又反直觉的公式:x' = \gamma(x - vt)、t' = \gamma(t - vx/c^2),其中洛伦兹因子 \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}。一旦得到这组变换,后续的时间膨胀、长度收缩、速度合成都将自然涌现。

一、推导的起点

承接上一节,我们假设新变换具有形式:

\begin{aligned} x' &= A(x - vt) \\ t' &= B t + C x \end{aligned}

其中 A、B、C 是与 v 有关的待定常数。注意这个形式已经满足了上一节提出的几个要求:

线性:变换只含 x 与 t 的一次项。
S' 原点条件:S' 系的原点 x' = 0 对应 S 系中 x = vt,这正是一个以速度 v 运动的参照系。
放弃 t' = t:t' 可以与 x 有关。

接下来用以下约束确定 A、B、C:

相对性原理(对称性)
光速不变原理
低速极限

二、约束一:对称性(相对性原理)

相对性原理要求:S 系看 S' 系,与 S' 系看 S 系,应当具有相同的变换形式,只是 v 换成 -v。

具体来说,如果我们把 S 系的坐标反解出来:

\begin{aligned} x &= \frac{1}{A}\left(x' + A v t\right) = \frac{x'}{A} + v t \\ \end{aligned}

但这里有个困难:t 还混在里面。我们需要先解出 t。从 t' = Bt + Cx,可以解出:

t = \frac{t' - Cx}{B}

代入 x' 的表达式中,经过一些代数整理(把 x 也用 x'、t' 表示),最终可以得到从 S' 反推 S 的变换形式。根据相对性原理,这个反推的形式应当与原变换相同,只是 v 换成 -v:

\begin{aligned} x &= A(-v) \cdot (x' + vt') \\ t &= B(-v) \cdot t' + C(-v) \cdot x' \end{aligned}

由于对称性,A、B 应当是 v 的偶函数(只含 v^2),C 应当是 v 的奇函数(正比于 v)。这一对称性论证虽然有些繁琐,但本质上非常自然:两个相互作匀速运动的惯性系,地位完全平等。

三、约束二:光速不变

现在用光速不变原理。设 S 系中一束光沿 x 方向以速度 c 传播,其世界线为 x = ct。光速不变要求:在 S' 系中,这束光仍以 c 传播,即 x' = ct'。

把 x = ct 代入变换:

\begin{aligned} x' &= A(ct - vt) = A(c - v) t \\ t' &= Bt + C(ct) = (B + Cc) t \end{aligned}

光速不变要求 x' = ct',即:

A(c - v) t = c \cdot (B + Cc) t

约去 t:

A(c - v) = c(B + Cc) \quad \cdots (*)

类似地,考虑沿 -x 方向传播的光,世界线 x = -ct,光速不变要求 x' = -ct'。代入变换得另一个约束:

A(c + v) = c(B - Cc) \quad \cdots (**)

把 (*) 与 (**) 两式相加、相减,可以解出:

相加:2Ac = 2cB,即 A = B。
相减:-2Av = 2c^2 C,即 C = -Av/c^2。

这样,我们得到:

B = A, \quad C = -\frac{Av}{c^2}

变换简化为:

\begin{aligned} x' &= A(x - vt) \\ t' &= A\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \end{aligned}

只剩一个待定常数 A。

四、约束三:确定 A

为确定 A,我们需要再加一个条件。这里用一种巧妙的对称性论证。

考虑从 S 到 S' 再到一个相对 S' 以速度 v 运动的 S'' 系,等价于从 S 到一个相对 S 以某个合速度运动的系。这种"变换的合成"必须自洽——洛伦兹变换构成一个群。

群结构要求:两个连续洛伦兹变换的合成,等价于一个单一的洛伦兹变换。这一要求严格限制了 A 的形式。

我们不详细推导(那需要解一个微分方程),只给出结果:满足群结构要求的 A 为:

A = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \equiv \gamma

这就是洛伦兹因子。它只依赖于 v 与 c,是一个无量纲的、大于等于 1 的数。

另一种推导:用间隔不变性

更简洁地,可以用间隔不变性来确定 A。考虑 S 系原点发出的一束光,在时间 t 内走到 x = ct。同一束光在 S' 系中也以 c 传播,所以 x' = ct'。这给出约束:

c^2 t^2 - x^2 = c^2 (t')^2 - (x')^2

(这是间隔不变性的要求,虽然我们到第 5 节才正式引入,但这里可以先用。)

把 x' = A(x - vt)、t' = A(t - vx/c^2) 代入,经过代数化简,可以直接解出 A = \gamma。

五、洛伦兹变换的最终形式

把 \gamma 代入,得到洛伦兹变换的最终形式:

\boxed{ \begin{aligned} x' &= \gamma(x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \end{aligned} }

其中 \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}。

反变换

从 S' 系回到 S 系,只需把 v 换成 -v(相对性原理):

\begin{aligned} x &= \gamma(x' + vt') \\ t &= \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right) \end{aligned}

几个关键特征

时间与空间混合:t' 不仅与 t 有关,还与 x 有关;同样,x' 不仅与 x 有关,还通过 \gamma 间接含有 t。时间与空间不再独立。
同时性相对性的数学根源:t' = \gamma(t - vx/c^2) 中的 -vx/c^2 项,正是同时性相对性的体现——同一个 t 下,不同的 x 给出不同的 t'。
低速极限:当 v \ll c,\gamma \to 1,vx/c^2 \to 0,变换回到伽利略变换——对应原理得以满足。
光速极限:当 v \to c,\gamma \to \infty,变换发散——有质量物体不能达到光速。

六、用洛伦兹变换验证光速不变

让我们用洛伦兹变换直接验证光速不变。设 S 系中一束光以 u = c 传播,\Delta x = c \Delta t。在 S' 系中:

\begin{aligned} \Delta x' &= \gamma(\Delta x - v \Delta t) = \gamma(c - v) \Delta t \\ \Delta t' &= \gamma\left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) = \gamma\left(1 - \frac{v}{c}\right) \Delta t \end{aligned}

两式相除,得到 S' 系中的光速:

u' = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\gamma(c - v) \Delta t}{\gamma(1 - v/c) \Delta t} = \frac{c - v}{1 - v/c} = \frac{c - v}{(c - v)/c} = c

完美!无论 v 是多少,S' 系中的光速都是 c。这正是光速不变原理的体现。

关键概念:洛伦兹变换的几何意义

洛伦兹变换不是某种"修补"或"近似",它是相对论时空的几何性质——正如欧氏几何中的旋转不改变距离,洛伦兹变换不改变间隔。我们将在第 4-6 节把这一几何意义彻底展开。

本节要点回顾

洛伦兹变换的推导,从线性假设出发,加上相对性原理、光速不变、低速极限三个约束,可以完全确定变换的形式。
推导的核心结果是 x' = \gamma(x - vt)、t' = \gamma(t - vx/c^2),其中洛伦兹因子 \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}。
这组变换的最深刻特征是时间与空间混合——t' 不仅依赖 t,还依赖 x,这正是同时性相对性的数学表达。
在 v \ll c 的低速极限下,\gamma \to 1,变换回到伽利略变换——对应原理得以满足。
直接代入可验证:洛伦兹变换确实保证光速在所有惯性系中都为 c。

下一节,我们将引入时空图与世界线这一直观工具,把洛伦兹变换的几何意义图形化。