04-膨胀宇宙与弗里德曼方程

膨胀宇宙与弗里德曼方程

本节摘要:广义相对论应用到整个宇宙,产生了现代宇宙学。1922 年,俄国物理学家亚历山大·弗里德曼从爱因斯坦场方程求出了膨胀宇宙解——描述宇宙的整体演化。1929 年,美国天文学家埃德温·哈勃通过观测证实了宇宙膨胀:星系都在远离我们,且越远的退行越快(哈勃定律)。本节讨论弗里德曼方程、哈勃定律,以及宇宙膨胀的物理图像。

一、把广义相对论应用到宇宙

爱因斯坦在 1917 年就尝试把广义相对论应用到整个宇宙,但他假设宇宙静态(出于当时的普遍信念)。为此,他在场方程中加入了宇宙学常数 \Lambda,以平衡引力,使宇宙静态。

1922 年,弗里德曼放掉了"静态"假设,从场方程求出了一般解——发现宇宙可以是膨胀、收缩或静态的(静态只是特例)。

爱因斯坦起初反对弗里德曼的解,认为有错误。但几年后他承认弗里德曼是对的,放弃了静态宇宙模型(在 1929 年哈勃发现膨胀后)。

二、宇宙学原理

讨论整个宇宙,需要做一个简化假设——宇宙学原理:

在大尺度上(数亿光年),宇宙是均匀且各向同性的。

也就是说,从宇宙的任何一点看,大尺度上的物质分布与方向都相同。这一假设虽是近似,但被现代观测(宇宙微波背景的均匀性、大尺度结构)精确支持。

宇宙学原理使我们可以用简单的几何描述宇宙——弗里德曼-罗伯逊-沃尔克(FRW)度规:

其中:

• a(t) 是尺度因子,描述宇宙的"大小"随时间变化。
• k 是空间曲率参数:k = +1(正曲率,球面),k = 0(平直),k = -1(负曲率,马鞍面)。

尺度因子 a(t) 是宇宙学的核心量——它描述宇宙如何膨胀或收缩。

三、弗里德曼方程

把 FRW 度规代入爱因斯坦场方程,得到弗里德曼方程:

其中:

• H = \dot{a}/a 是哈勃参数(描述宇宙膨胀速率)。
• \rho 是宇宙的平均能量密度(物质、辐射等)。
• k 是空间曲率。
• \Lambda 是宇宙学常数(暗能量)。

这一方程是现代宇宙学的核心。它告诉我们:宇宙的膨胀速率,由物质密度、曲率、暗能量共同决定。

弗里德曼方程的解

不同物质成分主导时,宇宙膨胀的方式不同:

1. 物质主导:膨胀减速(a \propto t^{2/3})。这是大部分宇宙历史的情形。
2. 辐射主导:膨胀更快减速(a \propto t^{1/2})。这是早期宇宙的情形。
3. 暗能量主导(\Lambda):膨胀加速(a \propto e^{Ht})。这是当前宇宙的情形。

我们的宇宙经历了这三个阶段:

• 早期:辐射主导(头几十万年)。
• 中期:物质主导(几十亿年)。
• 现在:暗能量主导(约 50 亿年前开始)。

四、哈勃定律

1929 年,埃德温·哈勃宣布了一个重大发现:遥远星系都在远离我们,且退行速度与距离成正比:

其中:

• v 是星系的退行速度(由红移测得)。
• d 是星系的距离。
• H_0 是当前的哈勃常数(约 70 km/s/Mpc)。

这就是哈勃定律。它表明宇宙正在膨胀——星系都在互相远离。

哈勃定律的物理含义

哈勃定律的含义深刻:

1. 宇宙在膨胀——这是弗里德曼方程的一个解,证实了广义相对论的预言。
2. 没有特殊的中心——任何星系都看到其他星系远离自己。膨胀是均匀的,没有"中心"。
3. 回顾过去更密集——倒推回去,宇宙曾经更小、更密集。这是大爆炸模型的依据。

类比警示:气球膨胀

宇宙膨胀常被比作吹气球:气球上画许多点,吹气球时,每个点都看到其他点远离——但没有任何一点是"中心"。宇宙膨胀类似:每个星系都看到其他星系远离,没有中心。注意:星系不"在空间中运动",而是空间本身在膨胀——这是关键区别。

五、宇宙学红移 vs 多普勒红移

宇宙膨胀使遥远星系的光红移——这是宇宙学红移,与第 5 章讨论的多普勒红移不同:

• 多普勒红移:光源在空间中运动,光频率因光源速度变化。
• 宇宙学红移:光源与观察者相对静止,但空间本身在膨胀,光的波长被"拉长"。

对于不太远的星系,两者数值相近(都可由红移推算退行速度)。但对于遥远的星系(红移 > 1),宇宙学红移更准确——光走过的"路径"在膨胀,波长按比例增加。

宇宙学红移的量级用红移因子 z 描述:

也就是说,红移因子是观察时宇宙尺度因子与发射时尺度因子之比。z = 1 意味着光发出时宇宙是现在的一半大小。

六、宇宙的曲率

弗里德曼方程中的 k 描述空间曲率。三种情况:

• k = +1(正曲率):宇宙空间是球面(三维球面),有限但无边。如果宇宙停止膨胀,会反向塌缩(大挤压)。
• k = 0(平直):宇宙空间是平直的(欧氏几何),可能无限。膨胀减速但不停。
• k = -1(负曲率):宇宙空间是马鞍面,无限。膨胀永远持续。

现代观测(宇宙微波背景的角功率谱)显示,宇宙非常接近平直(|k| \approx 0)——这是暴胀理论的预言之一。

七、宇宙的临界密度

弗里德曼方程定义了一个临界密度:

约相当于每立方米几个氢原子。临界密度的物理意义:

• 若实际密度 \rho = \rho_c:宇宙平直(k = 0)。
• 若 \rho > \rho_c:宇宙正曲率(k = +1)。
• 若 \rho < \rho_c:宇宙负曲率(k = -1)。

定义密度参数 \Omega = \rho/\rho_c。现代观测给出:

也就是说,宇宙非常接近平直——总密度等于临界密度。

但这一总密度由几个成分构成:

• 普通物质(原子):约 5%。
• 暗物质:约 27%。
• 暗能量:约 68%。

也就是说,宇宙的 95% 是我们不知道本质的"暗"成分——这是现代宇宙学的核心谜题(下一节)。

八、宇宙加速膨胀

1998 年,两个独立团队(超新星宇宙学项目、高红移超新星搜索)通过观测遥远 Ia 型超新星,发现了一个惊人事实:

宇宙不仅在膨胀,而且膨胀在加速!

这与纯物质宇宙的预言(膨胀减速)矛盾。加速膨胀的解释是暗能量——一种具有负压强的能量形式,产生"排斥性引力",推动宇宙加速膨胀。

暗能量的本质是 21 世纪物理学的最大谜题之一。三种主要可能:

1. 宇宙学常数(真空能):能量密度恒定,与时空无关。
2. 标量场(第五元素 quintessence):能量密度随时间缓慢变化。
3. 修改引力:广义相对论在大尺度上需要修改。

目前观测(特别是宇宙微波背景、超新星、大尺度结构)与宇宙学常数一致,但仍不能排除其他可能。

九、本节的总结

本节讨论了膨胀宇宙与弗里德曼方程:

1. 宇宙学原理:大尺度上,宇宙均匀各向同性。
2. FRW 度规:用尺度因子 a(t) 与曲率参数 k 描述宇宙几何。
3. 弗里德曼方程 H^2 = (8\pi G/3) \rho - kc^2/a^2 + \Lambda c^2/3 是宇宙学核心,描述膨胀速率。
4. 哈勃定律 v = H_0 d(1929):星系退行速度正比于距离,证实宇宙膨胀。
5. 宇宙学红移:光的波长被空间膨胀拉长,不同于多普勒红移。
6. 宇宙的成分:普通物质 5%、暗物质 27%、暗能量 68%——95% 是未知。
7. 宇宙加速膨胀(1998):暗能量推动的加速膨胀,21 世纪物理学最大谜题。

下一节,我们将追溯膨胀宇宙的过去——大爆炸与宇宙微波背景。

本节要点回顾

1. 宇宙学原理:大尺度上宇宙均匀各向同性;现代观测精确支持。
2. FRW 度规:用尺度因子 a(t) 与曲率参数 k 描述宇宙几何。
3. 弗里德曼方程 H^2 = (8\pi G/3)\rho - kc^2/a^2 + \Lambda c^2/3,是现代宇宙学的核心方程。
4. 宇宙经历的阶段:辐射主导(早期)→ 物质主导(中期)→ 暗能量主导(现在)。
5. 哈勃定律 v = H_0 d(1929):星系退行正比于距离,H_0 \approx 70 km/s/Mpc,证实宇宙膨胀。
6. 宇宙学红移:光的波长被空间膨胀拉长,与多普勒红移物理本质不同。
7. 宇宙的成分:普通物质 5%、暗物质 27%、暗能量 68%;总密度接近临界(平直)。
8. 宇宙加速膨胀(1998):暗能量推动,21 世纪物理学最大谜题之一。

下一节,我们将追溯膨胀宇宙的过去——大爆炸与宇宙微波背景辐射。