逻辑回归:用 S 曲线回答是非题

逻辑回归:用 S 曲线回答是非题

本节摘要:逻辑回归(Logistic Regression)把直线弯成 S 曲线,用概率回答是非题。你想根据肿瘤大小判断恶性还是良性,线性回归会吐出 0.3、1.7、-0.5 这样无界的数字——1.7 算「很恶性」吗?-0.5 算「很良性」吗?分类需要的是 0 到 1 之间的概率,外加一个清晰的是/否判决。逻辑回归把同样的线性组合 wx + b 喂给 sigmoid 函数,把任意实数压进 (0, 1) 区间,输出概率,再设个阈值(通常 0.5)做决定。本节将吃透:为什么 MSE 不能用于分类、sigmoid 的数学性质、二元交叉熵损失为何保证凸性、梯度下降在逻辑回归里与线性回归的同构之美、softmax 多分类、以及精确率/召回率/F1 等评估指标。尽管名字带「回归」,它其实是分类算法。

学习目标

阅读完本节,你应当能够:

1. 用 sigmoid 函数和二元交叉熵损失,从零实现逻辑回归。
2. 计算并解读二元分类的精确率(Precision)、召回率(Recall)、F1、混淆矩阵。
3. 解释为什么 MSE 不能用于分类,以及二元交叉熵为何产生凸代价曲面。
4. 构建 softmax 回归做多分类,并评估阈值调优的权衡。

一、问题与直觉

你想根据肿瘤大小判断恶性还是良性。你试了线性回归,它输出 0.3、1.7、-0.5 这样的数字。这些是什么意思?1.7 是「很恶性」?-0.5 是「很良性」?线性回归输出无界数字,而分类需要 0 到 1 之间有界的概率,以及一个清晰的判决:是或否。

逻辑回归解决这个问题。它取同样的线性组合 wx + b,送入 sigmoid 函数,把任意数字压进 (0, 1) 区间。输出是概率。你设一个阈值(通常 0.5)做决定。

这是实践中最常用的算法之一。尽管名字带「回归」,逻辑回归是分类算法而非回归算法。名字来自它使用的逻辑(sigmoid)函数。

为什么线性回归不能做分类

想象根据学习时长预测通过/不通过(1/0)。线性回归在数据上拟合一条直线:

hours:  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
actual: 0   0   0   0   1   1   1   1   1   1
​

线性拟合可能在 1 小时处给出 -0.2、在 10 小时处给出 1.3。这些值不是概率,它们低于 0 也高于 1。更糟的是,一个离群点(学了 50 小时的人)会拖动整条线,改变所有人的预测。

分类需要一个能这样做的函数:

• 输出 0 到 1 之间的值(概率)
• 形成急剧过渡(决策边界)
• 不被远离边界的离群点扭曲

sigmoid 函数

sigmoid 函数恰好做到这些:

sigmoid(z) = 1 / (1 + e^(-z))
​

性质:

• z 很大且为正时,sigmoid(z) 趋近 1
• z 很大且为负时,sigmoid(z) 趋近 0
• z = 0 时,sigmoid(z) = 0.5
• 输出始终在 0 到 1 之间
• 函数处处光滑可导

它的导数形式很简洁:sigmoid'(z) = sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z)),这让梯度计算高效。

逻辑回归 = 线性模型 + sigmoid

模型先算 z = wx + b(同线性回归),再套 sigmoid:

输出 p 被解读为 P(y=1 | x),即输入属于类 1 的概率。决策边界在 wx + b = 0 处,那里 sigmoid 输出正好 0.5。

二元交叉熵损失

逻辑回归不能用 MSE。MSE 配 sigmoid 会产生非凸代价曲面,有大量局部极小。改用二元交叉熵(对数损失,Log Loss):

Loss = -(1/n) * sum(y * log(p) + (1-y) * log(1-p))
​

为什么有效:

• y=1 且 p 接近 1:log(1) = 0,损失接近 0(对的,代价低)
• y=1 且 p 接近 0:log(0) 趋近负无穷,损失巨大(错的,代价高)
• y=0 且 p 接近 0:log(1) = 0,损失接近 0(对的,代价低)
• y=0 且 p 接近 1:log(0) 趋近负无穷,损失巨大(错的,代价高)

这个损失函数对逻辑回归是凸的,保证唯一全局最小。

逻辑回归的梯度下降

二元交叉熵配 sigmoid 的梯度形式很干净:

dL/dw = (1/n) * sum((p - y) * x)
dL/db = (1/n) * sum(p - y)
​

它们与线性回归梯度看起来一模一样。区别在于 p = sigmoid(wx + b) 而非 p = wx + b。sigmoid 引入非线性,但梯度更新规则不变。

决策边界

对二维输入(两个特征),决策边界是这样一条直线:

w1*x1 + w2*x2 + b = 0
​

一侧的点被判为 1,另一侧判为 0。逻辑回归始终产生线性决策边界。要弯曲的边界,要么加多项式特征,要么用非线性模型。

softmax 多分类

二元逻辑回归处理两类。对 k 类,用 softmax 函数:

softmax(z_i) = e^(z_i) / sum(e^(z_j) for all j)
​

每个类有自己的权重向量。模型为每个类算一个分数 z_i,softmax 把分数转成和为 1 的概率。预测类是概率最高的那个。

损失函数变为分类交叉熵:

Loss = -(1/n) * sum(sum(y_k * log(p_k)))
​

其中 y_k 对真实类为 1、对其余类为 0(one-hot 编码)。

评估指标

光看准确率不够。对 95% 负、5% 正的数据集,永远预测负的模型拿到 95% 准确率却毫无用处。

混淆矩阵(Confusion Matrix):

精确率(Precision):所有预测为正的里,实际为正的有多少?

Precision = TP / (TP + FP)
​

召回率(Recall / 灵敏度):所有实际为正的里,我们抓到了多少?

Recall = TP / (TP + FN)
​

F1 分数:精确率和召回率的调和平均,平衡两者。

F1 = 2 * (Precision * Recall) / (Precision + Recall)
​

何时优先:

• 精确率:假正例代价高(垃圾邮件过滤,你不想误拦合法邮件)
• 召回率:假负例代价高(癌症筛查,你不想漏掉肿瘤)
• F1:需要单一平衡指标时

二、从零实现

第 1 步:sigmoid 函数与数据生成

import random
import math

def sigmoid(z):
    z = max(-500, min(500, z))
    return 1.0 / (1.0 + math.exp(-z))


random.seed(42)
N = 200
X = []
y = []

for _ in range(N // 2):
    X.append([random.gauss(2, 1), random.gauss(2, 1)])
    y.append(0)

for _ in range(N // 2):
    X.append([random.gauss(5, 1), random.gauss(5, 1)])
    y.append(1)

combined = list(zip(X, y))
random.shuffle(combined)
X, y = zip(*combined)
X = list(X)
y = list(y)

print(f"Generated {N} samples (2 classes, 2 features)")
print(f"Class 0 center: (2, 2), Class 1 center: (5, 5)")
print(f"First 5 samples:")
for i in range(5):
    print(f"  Features: [{X[i][0]:.2f}, {X[i][1]:.2f}], Label: {y[i]}")
​

第 2 步:从零实现逻辑回归

class LogisticRegression:
    def __init__(self, n_features, learning_rate=0.01):
        self.weights = [0.0] * n_features
        self.bias = 0.0
        self.lr = learning_rate
        self.loss_history = []

    def predict_proba(self, x):
        z = sum(w * xi for w, xi in zip(self.weights, x)) + self.bias
        return sigmoid(z)

    def predict(self, x, threshold=0.5):
        return 1 if self.predict_proba(x) >= threshold else 0

    def compute_loss(self, X, y):
        n = len(y)
        total = 0.0
        for i in range(n):
            p = self.predict_proba(X[i])
            p = max(1e-15, min(1 - 1e-15, p))
            total += y[i] * math.log(p) + (1 - y[i]) * math.log(1 - p)
        return -total / n

    def fit(self, X, y, epochs=1000, print_every=200):
        n = len(y)
        n_features = len(X[0])
        for epoch in range(epochs):
            dw = [0.0] * n_features
            db = 0.0
            for i in range(n):
                p = self.predict_proba(X[i])
                error = p - y[i]
                for j in range(n_features):
                    dw[j] += error * X[i][j]
                db += error
            for j in range(n_features):
                self.weights[j] -= self.lr * (dw[j] / n)
            self.bias -= self.lr * (db / n)
            loss = self.compute_loss(X, y)
            self.loss_history.append(loss)
            if epoch % print_every == 0:
                print(f"  Epoch {epoch:4d} | Loss: {loss:.4f} | w: [{self.weights[0]:.3f}, {self.weights[1]:.3f}] | b: {self.bias:.3f}")
        return self

    def accuracy(self, X, y):
        correct = sum(1 for i in range(len(y)) if self.predict(X[i]) == y[i])
        return correct / len(y)


split = int(0.8 * N)
X_train, X_test = X[:split], X[split:]
y_train, y_test = y[:split], y[split:]

print("\n=== Training Logistic Regression ===")
model = LogisticRegression(n_features=2, learning_rate=0.1)
model.fit(X_train, y_train, epochs=1000, print_every=200)

print(f"\nTrain accuracy: {model.accuracy(X_train, y_train):.4f}")
print(f"Test accuracy:  {model.accuracy(X_test, y_test):.4f}")
print(f"Weights: [{model.weights[0]:.4f}, {model.weights[1]:.4f}]")
print(f"Bias: {model.bias:.4f}")
​

第 3 步:从零写混淆矩阵与指标

class ClassificationMetrics:
    def __init__(self, y_true, y_pred):
        self.tp = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 1 and p == 1)
        self.tn = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 0 and p == 0)
        self.fp = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 0 and p == 1)
        self.fn = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 1 and p == 0)

    def accuracy(self):
        total = self.tp + self.tn + self.fp + self.fn
        return (self.tp + self.tn) / total if total > 0 else 0

    def precision(self):
        denom = self.tp + self.fp
        return self.tp / denom if denom > 0 else 0

    def recall(self):
        denom = self.tp + self.fn
        return self.tp / denom if denom > 0 else 0

    def f1(self):
        p = self.precision()
        r = self.recall()
        return 2 * p * r / (p + r) if (p + r) > 0 else 0

    def print_confusion_matrix(self):
        print(f"\n  Confusion Matrix:")
        print(f"                  Predicted")
        print(f"                  Pos   Neg")
        print(f"  Actual Pos     {self.tp:4d}  {self.fn:4d}")
        print(f"  Actual Neg     {self.fp:4d}  {self.tn:4d}")

    def print_report(self):
        self.print_confusion_matrix()
        print(f"\n  Accuracy:  {self.accuracy():.4f}")
        print(f"  Precision: {self.precision():.4f}")
        print(f"  Recall:    {self.recall():.4f}")
        print(f"  F1 Score:  {self.f1():.4f}")


y_pred_test = [model.predict(x) for x in X_test]
print("\n=== Classification Report (Test Set) ===")
metrics = ClassificationMetrics(y_test, y_pred_test)
metrics.print_report()
​

第 4 步:决策边界分析

print("\n=== Decision Boundary ===")
w1, w2 = model.weights
b = model.bias
print(f"Decision boundary: {w1:.4f}*x1 + {w2:.4f}*x2 + {b:.4f} = 0")
if abs(w2) > 1e-10:
    print(f"Solved for x2:     x2 = {-w1/w2:.4f}*x1 + {-b/w2:.4f}")

print("\nSample predictions near the boundary:")
test_points = [
    [3.0, 3.0],
    [3.5, 3.5],
    [4.0, 4.0],
    [2.5, 2.5],
    [5.0, 5.0],
]
for point in test_points:
    prob = model.predict_proba(point)
    pred = model.predict(point)
    print(f"  [{point[0]}, {point[1]}] -> prob={prob:.4f}, class={pred}")
​

第 5 步:softmax 多分类

class SoftmaxRegression:
    def __init__(self, n_features, n_classes, learning_rate=0.01):
        self.n_features = n_features
        self.n_classes = n_classes
        self.lr = learning_rate
        self.weights = [[0.0] * n_features for _ in range(n_classes)]
        self.biases = [0.0] * n_classes

    def softmax(self, scores):
        max_score = max(scores)
        exp_scores = [math.exp(s - max_score) for s in scores]
        total = sum(exp_scores)
        return [e / total for e in exp_scores]

    def predict_proba(self, x):
        scores = [
            sum(self.weights[k][j] * x[j] for j in range(self.n_features)) + self.biases[k]
            for k in range(self.n_classes)
        ]
        return self.softmax(scores)

    def predict(self, x):
        probs = self.predict_proba(x)
        return probs.index(max(probs))

    def fit(self, X, y, epochs=1000, print_every=200):
        n = len(y)
        for epoch in range(epochs):
            grad_w = [[0.0] * self.n_features for _ in range(self.n_classes)]
            grad_b = [0.0] * self.n_classes
            total_loss = 0.0
            for i in range(n):
                probs = self.predict_proba(X[i])
                for k in range(self.n_classes):
                    target = 1.0 if y[i] == k else 0.0
                    error = probs[k] - target
                    for j in range(self.n_features):
                        grad_w[k][j] += error * X[i][j]
                    grad_b[k] += error
                true_prob = max(probs[y[i]], 1e-15)
                total_loss -= math.log(true_prob)
            for k in range(self.n_classes):
                for j in range(self.n_features):
                    self.weights[k][j] -= self.lr * (grad_w[k][j] / n)
                self.biases[k] -= self.lr * (grad_b[k] / n)
            if epoch % print_every == 0:
                print(f"  Epoch {epoch:4d} | Loss: {total_loss / n:.4f}")
        return self

    def accuracy(self, X, y):
        correct = sum(1 for i in range(len(y)) if self.predict(X[i]) == y[i])
        return correct / len(y)


random.seed(42)
X_3class = []
y_3class = []

centers = [(1, 1), (5, 1), (3, 5)]
for label, (cx, cy) in enumerate(centers):
    for _ in range(50):
        X_3class.append([random.gauss(cx, 0.8), random.gauss(cy, 0.8)])
        y_3class.append(label)

combined = list(zip(X_3class, y_3class))
random.shuffle(combined)
X_3class, y_3class = zip(*combined)
X_3class = list(X_3class)
y_3class = list(y_3class)

split_3 = int(0.8 * len(X_3class))
X_train_3 = X_3class[:split_3]
y_train_3 = y_3class[:split_3]
X_test_3 = X_3class[split_3:]
y_test_3 = y_3class[split_3:]

print("\n=== Multi-class Softmax Regression (3 classes) ===")
softmax_model = SoftmaxRegression(n_features=2, n_classes=3, learning_rate=0.1)
softmax_model.fit(X_train_3, y_train_3, epochs=1000, print_every=200)
print(f"\nTrain accuracy: {softmax_model.accuracy(X_train_3, y_train_3):.4f}")
print(f"Test accuracy:  {softmax_model.accuracy(X_test_3, y_test_3):.4f}")

print("\nSample predictions:")
for i in range(5):
    probs = softmax_model.predict_proba(X_test_3[i])
    pred = softmax_model.predict(X_test_3[i])
    print(f"  True: {y_test_3[i]}, Predicted: {pred}, Probs: [{', '.join(f'{p:.3f}' for p in probs)}]")
​

第 6 步:阈值调优

print("\n=== Threshold Tuning ===")
print("Default threshold: 0.5. Adjusting the threshold trades precision for recall.\n")

thresholds = [0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7]
print(f"{'Threshold':>10} {'Accuracy':>10} {'Precision':>10} {'Recall':>10} {'F1':>10}")
print("-" * 52)

for t in thresholds:
    y_pred_t = [1 if model.predict_proba(x) >= t else 0 for x in X_test]
    m = ClassificationMetrics(y_test, y_pred_t)
    print(f"{t:>10.1f} {m.accuracy():>10.4f} {m.precision():>10.4f} {m.recall():>10.4f} {m.f1():>10.4f}")
​

三、框架对比

同样的东西用 scikit-learn 实现:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression as SklearnLR
from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score
from sklearn.metrics import confusion_matrix, classification_report
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

np.random.seed(42)
X_0 = np.random.randn(100, 2) + [2, 2]
X_1 = np.random.randn(100, 2) + [5, 5]
X_sk = np.vstack([X_0, X_1])
y_sk = np.array([0] * 100 + [1] * 100)

X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X_sk, y_sk, test_size=0.2, random_state=42)

scaler = StandardScaler()
X_tr_sc = scaler.fit_transform(X_tr)
X_te_sc = scaler.transform(X_te)

lr = SklearnLR()
lr.fit(X_tr_sc, y_tr)
y_pred = lr.predict(X_te_sc)

print("=== Scikit-learn Logistic Regression ===")
print(f"Accuracy:  {accuracy_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"Precision: {precision_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"Recall:    {recall_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"F1:        {f1_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"\nConfusion Matrix:\n{confusion_matrix(y_te, y_pred)}")
print(f"\nClassification Report:\n{classification_report(y_te, y_pred)}")
​

四、可复用产物

本节产出:

• code/logistic_regression.py —— 带评估指标的、从零实现的逻辑回归。

五、练习

1. 生成一个线性不可分的数据集(如同心圆),训练逻辑回归观察其失败;然后加入多项式特征(x1²、x2²、x1*x2)再训练,展示准确率提升。
2. 为三类 softmax 模型实现多分类混淆矩阵,计算每类的精确率和召回率,找出最难分的类。
3. 从零构建 ROC 曲线:取 0 到 1 的 100 个阈值,算真正例率和假正例率,用梯形法则计算 AUC(曲线下面积)。

本节要点回顾

1. 逻辑回归是分类不是回归:线性组合 wx+b 经 sigmoid 压成 (0,1) 概率,设阈值做判决。
2. 线性回归不能做分类:输出无界,易被离群点扭曲,缺乏急剧过渡的决策边界。
3. sigmoid 性质优雅:处处可导,导数 sigmoid(z)*(1-sigmoid(z)),z=0 时为 0.5。
4. 不用 MSE 用交叉熵:MSE 配 sigmoid 非凸、多局部最小;二元交叉熵凸、保证全局最小,且重罚自信的错误。
5. 梯度与线性回归同构:dL/dw = (1/n)*sum((p-y)*x),只是 p 由 sigmoid 产生。
6. 决策边界是线性的:w1*x1+w2*x2+b=0,要弯曲边界就加多项式特征。
7. softmax 推广到多类:每类一套权重,分数经 softmax 归一为概率,配分类交叉熵。
8. 光准确率不够:95% 负样本的数据集里永远预测负就有 95% 准确率却无用,要看混淆矩阵和精确率/召回率/F1。
9. 指标按代价选:假正例贵看精确率、假负例贵看召回率、要平衡看 F1,调阈值可做权衡。

下一节,我们离开线性世界,进入决策树与随机森林——用递归切分特征空间,既能拟合任意非线性边界,又能解释每一个决策。