第 2 章 · 03 CAPM 模型

第 2 章 · 03 CAPM 模型

本节摘要:本节讲 expected_returns.py 提供的第三种、也是理论根基最稳的收益估计——capm_return。资本资产定价模型(CAPM)由 Sharpe 等人 1960 年代提出,核心公式 R_i = R_f + β_i (E(R_m) - R_f):资产的期望收益等于无风险利率加上其 beta 乘以市场风险溢价。本节拆解 PyPortfolioOpt 的实现:如何把「市场组合」当成基准(无显式输入时用资产等权均值代理)、如何用协方差回归估 beta、如何把日度市场均值年化,以及它相对前两种历史估计的优势——把「外推个股历史」换成「外推市场 + 个股相对风险」,因而更稳。最后讲清它的理论假设与实务局限。

内容来源:原项目源码 pypfopt/expected_returns.py(函数 capm_return)、文档 docs/ExpectedReturns.rst,汉化并套用体系化模板。

学习目标

阅读完本节,你应当能够:

1. 写出 CAPM 公式,说清每项含义。
2. 解释 beta 的计算方式与「相对市场风险」的直觉。
3. 用 capm_return 算期望收益,知道默认市场代理是什么。
4. 区分 市场风险溢价 与无风险利率两个参数。
5. 复述 CAPM 相对历史均值的优势与理论局限。

一、CAPM 公式与直觉

CAPM(Capital Asset Pricing Model)由 William Sharpe 等人于 1964 年前后提出,是现代金融理论的基石之一。它给出了资产期望收益的「应该值」:

R_i = R_f + β_i × (E(R_m) - R_f)
​

各项含义:

💡 核心心法:CAPM 把个股的收益拆成两部分——时间价值(R_f,谁都能拿)+ 承担市场风险的补偿(β × 市场溢价)。一只股票期望收益高,不是因为「它过去涨得多」,而是因为它对市场更敏感(beta 大),需要更多补偿。这把「外推个股」换成了「外推市场 + 估个股相对风险」,后者统计上更稳。

二、beta 的计算

beta 衡量资产收益对市场收益的敏感度:

β_i = Cov(R_i, R_m) / Var(R_m)
​

• β = 1:与市场同步(如 SPY 指数基金)。
• β > 1:比市场更波动(成长股、科技股常见,牛市涨得快、熊市跌得狠)。
• β < 1:比市场稳(公用事业、消费必需品)。
• β < 0:与市场反向(罕见,如黄金、某些对冲基金)。

三、源码逐行解析

打开 pypfopt/expected_returns.py,定位 capm_return(源码 226-315 行)。函数签名:

def capm_return(
    prices,
    market_prices=None,
    returns_data=False,
    risk_free_rate=0.0,
    compounding=True,
    frequency=252,
    log_returns=False,
):
​

核心实现(节选):

# 1. 准备市场收益
market_returns = None
# ... 解析 market_prices ...
if market_returns is None:
    # 用资产等权均值作为市场代理
    returns["mkt"] = returns.mean(axis=1)
else:
    market_returns.columns = ["mkt"]
    returns = returns.join(market_returns, how="left")

# 2. 算协方差,提取 beta
cov = returns.cov()
betas = cov["mkt"] / cov.loc["mkt", "mkt"]
betas = betas.drop("mkt")

# 3. 算市场期望收益(年化)
if compounding:
    mkt_mean_ret = (1 + returns["mkt"]).prod() ** (
        frequency / returns["mkt"].count()
    ) - 1
else:
    mkt_mean_ret = returns["mkt"].mean() * frequency

# 4. 套 CAPM 公式
return risk_free_rate + betas * (mkt_mean_ret - risk_free_rate)
​

关键设计:

1. 市场代理:若不传 market_prices,函数把「所有资产每日等权平均收益」当成市场收益 mkt 列。这是个粗糙但可用的代理——若你的资产池本身就是大盘成分,近似合理;若不是(比如全是科技股),会严重偏离真实市场。生产环境建议传一个真实指数(如 S&P 500 ETF SPY)的价格序列。
2. beta 提取:在 returns.cov() 的完整协方差矩阵里,cov["mkt"] 这一列就是每只资产与市场的协方差,除以 cov.loc["mkt", "mkt"](市场方差)即得 beta。最后 drop("mkt") 把市场自身那行去掉。
3. 市场均值年化:compounding=True 用 CAGR 公式,False 用算术均值 × frequency,与 mean_historical_return 一致。
4. 公式合成:risk_free_rate + betas * (mkt_mean_ret - risk_free_rate),严格对应 CAPM。

⚠️ 无风险利率的频率:risk_free_rate 的周期必须与 frequency 对应——日度数据(frequency=252)用日度无风险利率(如年化 2% 对应日度约 0.02/252);默认 0.0 是为了简化,实务中应当填一个真实值。新手最常犯的错是把年化无风险利率直接喂给日度频率。

四、参数速查表

五、用法示例

最简调用(用等权均值代理市场):

from pypfopt import expected_returns

mu = expected_returns.capm_return(df)
​

传入真实市场基准(推荐):

import yfinance as yf

spy = yf.download("SPY", period="max")["Close"]
mu = expected_returns.capm_return(df, market_prices=spy)
​

带无风险利率(年化 2%,需转日度):

mu = expected_returns.capm_return(
    df,
    market_prices=spy,
    risk_free_rate=0.02 / 252,   # 年化转日度
)
​

cookbook 2 里官方推荐 CAPM 作为「比均值历史收益更稳」的默认选择:

mu = expected_returns.capm_return(prices)
​

六、CAPM 的优势

相对前两种历史估计,CAPM 在实务上更稳,原因有三:

1. 结构先验:它强加了一个理论结构「收益 = 无风险 + β × 溢价」,而不是自由地外推每只资产的均值。结构约束减少了过拟合。
2. 只估一个量:它只需要估 beta(一个回归系数),而 beta 比「个股期望收益」统计上更持久、更可估——它是协方差比,样本噪声相对小。
3. 市场可外推:市场组合的均值比单只资产更稳(分散化降低了噪声),用它做基准更靠谱。

💡 官方推荐:cookbook 第 2 节明确写道「CAPM 收益旨在比默认的均值历史收益稍微稳定一些」。这也是 docs/ExpectedReturns.rst 的隐藏建议——若没有自研收益模型,优先用 CAPM。

七、理论假设与局限

CAPM 是个理想化模型,建立在几个强假设上:

1. 市场组合存在且可观测:理论上的「市场组合」包含所有风险资产(股票、债券、房产、人力资本……),实务只能用指数代理。
2. 投资者同质预期:所有人都用相同的 μ、Σ,理性均值-方差优化。
3. 无摩擦:无税收、无交易成本、可无限借贷无风险利率。
4. 单期模型:CAPM 是单期静态的,不处理多期动态。

实证上,CAPM 的预测也有偏差:

• 规模效应、价值效应、动量效应等「异象」说明 beta 不是收益的唯一决定因素(Fama-French 三因子等扩展模型就是为此而生)。
• beta 不稳定:用不同窗口估出来的 beta 差异大,行业变化、公司战略调整都会让 beta 漂移。

⚠️ 仍是被优化器放大的输入:无论 CAPM 多稳,它仍是 μ 的估计,仍会被 max_sharpe 最大化成权重。最稳健的做法仍是放弃 μ 只跑 min_volatility,或第 7 章用 Black-Litterman 把 CAPM 当先验再融合观点。

本节要点回顾

1. CAPM 公式:R_i = R_f + β_i (E(R_m) - R_f),收益 = 无风险 + β × 市场溢价。
2. beta 计算:β_i = cov(R_i, R_m) / var(R_m),衡量相对市场的系统性风险。
3. 市场代理:market_prices=None 时用资产等权均值代理;生产建议传 SPY 等真实指数。
4. 无风险利率:周期必须匹配 frequency(日度用日度,默认 0.0 是简化)。
5. 优势:结构先验、只估 beta(更持久)、市场基准更稳——官方推荐的「比历史均值更稳」之选。
6. 局限:强假设(市场组合、同质预期、无摩擦)、单期、beta 不稳定、实证有异象;仍是被优化器放大的输入。

至此,收益模型三层讲完。下一章,我们进入风险模型——从样本协方差开始,看协方差矩阵如何估、为何易失真。