3.4 Hillas 判据与源候选排名

3.4 Hillas 判据与源候选排名

本节摘要：一个天体能否把粒子加速到能量 E，有一个简洁的几何必要条件——粒子的回旋半径必须被约束在天体尺寸内。这就是 1984 年 Hillas 提出的判据。本节给出其推导、代码实现与候选源排名表，并说明为什么"过线"只是必要条件而非充分条件。

一、判据的推导

带电粒子在磁场中做回旋运动，拉莫尔半径：

r_L = E / (ZeBc)
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要被加速到 E，至少要求 r_L ≤ 天体尺寸 R（否则粒子第一圈就飞出去了）。于是最大能量：

E_max ≈ Ze · B · R · c
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实用单位形式（E 用 EeV，B 用 μG，R 用 kpc）：

def hillas(Z, B_uG, R_kpc):
    """Hillas 最大能量，EeV。Z 电荷数、B 微高斯、R 千秒差距"""
    # 系数 0.9 来自单位换算，记忆口诀：B=1uG, R=1kpc, Z=1 时 E_max 约 0.9 EeV
    return 0.9 * Z * B_uG * R_kpc

candidates = [
    ("超新星遗迹",  1, 100,  0.01),   # (名, Z, B/uG, R/kpc)
    ("脉冲星风星云", 1, 100, 0.05),
    ("活动星系核喷流", 1, 1000, 10),
    ("伽马暴火球",   1, 1e6, 1e-7),
    ("星系团激波",   1, 0.1, 1000),
]
for name, Z, B, R in candidates:
    print(f"{name:<10s} E_max ≈ {hillas(Z,B,R):.2g} EeV")
​

运行后你会看到：超新星遗迹勉强摸到 EeV 量级（解释膝绰绰有余、解释踝以上吃力）；AGN 喷流与星系团轻松过线；伽马暴靠极端磁场补足小尺寸。

二、必要 ≠ 充分

Hillas 过线只回答"粒子不会立刻飞走"，没有回答两个更苛刻的问题：

1. 能量损失：同步辐射、光致介子产生、对产生等过程随能量急剧增加，实际 E_max 往往比几何上限低一到两个数量级。质子皮实、电子和光子在强场环境里先"烧掉"。
2. 时间与速率：加速要在源的寿命内完成，且总功率要够补足宇宙线能量密度。

因此现代文献用的是"修正 Hillas 图"（在尺寸-磁场平面上画出考虑损失后的等 E_max 边界），纯几何版本只是初筛。

图：Hillas 资格审查流程

本节要点回顾

• 一条公式定资格：E_max ≈ ZeBRc，记忆锚点 B=1μG、R=1kpc、Z=1 时约 0.9 EeV。
• 三道关卡：几何（Hillas）→ 损失修正 → 供能核算，逐关收紧。
• SNR 够到膝盖、摸不到踝，这与第 2 章能谱结构的"银河/河外分界"图像自洽。
• 过线的候选未必是真凶——最终指认仍需伽马/中微子伴随证据（见第 6 章）。

动手估算：给银河系 PeVatron 排座次

Hillas 判据 E_max ≈ Z e B R β 把"能不能加速"压缩成三个数的乘积。练习对三类源各算一次：超新星遗迹（B=100 μG，R=5 pc）、年轻脉冲星（B=10^6 G，R=10 km）、活动星系核（B=10^3 G，R=10^14 cm）。前两者都恰好压线通过 10^15 eV，AGN 轻松超出 10^20 eV——但 Hillas 只是必要条件，还要乘上"效率系数"η（加速速率 vs 损失/逃逸）。

# Hillas 图核心计算：E_max = Z*e*B*R*beta
def emax(Z, B_uG_or_G, R_pc_or_cm, beta=1.0, unit="astro"):
    if unit == "astro":      # B: uG, R: pc
        return Z * beta * B_uG_or_G * R_pc_or_cm * 9e16 / 1e18   # -> EeV
    return Z * beta * B_uG_or_G * R_pc_or_cm * 3e6               # B:G, R:cm -> EeV
print(f"SNR  (100 uG, 5 pc):  {emax(1,100,5):.2f} EeV")
print(f"脉冲星 (1e6 G, 1e6 cm): {emax(1,1e6,1e6,unit='si'):.2f} EeV")
print(f"AGN  (1e3 G, 1e14 cm): {emax(1,1e3,1e14,unit='si'):.2f} EeV")
# 修正系数 eta~0.01-1 后，银河系内只有 SNR/脉冲星勉强够到 PeV
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观测数据档案：已证认/候选 PeVatron

# 从伽马能量下推质子能量（π0 链的十分之一律）
E_gamma = 1.4e15       # eV，LHAASO 蟹状星云最高点
E_p_min = 10 * E_gamma
r_L = E_p_min / (300 * 3e-6)   # cm，微高斯星际场
import math
print(f"需要质子 ~{E_p_min:.1e} eV，拉莫半径 {r_L/3.086e18:.2f} pc")
# 若用同步辐射解释则只需电子约 1-2 PeV 且要求磁场不超 ~百 uG
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延伸讨论：Hillas 图之外的第二道筛

只看 Hillas 线会得出"磁星磁层最能加速"的错觉，第二道筛是能量预算与损失：中子星磁层里同步与曲率辐射会把离子之外的一切电子迅速榨干，质子虽不受此限但引潮与逃逸窗口极窄；AGN 喷流虽宽裕，却要面对光致π损失把质子就地"消化"成中微子的风险。因此现代 PeVatron 排名实际是三维的：尺寸×磁场×环境光子密度。LHAASO 的 12 个超高能源里近半没有已知对应体，这些"暗 PeVatron"既是排名表的空行，也是该判据框架下一次被逼着升级的机会。

（提示：把 Hillas 三例的代码参数各改一档——B 或 R 缩小 10 倍——观察 E_max 如何跌破 PeV 线，就能体会候选排名对观测不确定度有多敏感。）