6.3 数值结果排错手册

6.3 数值结果排错手册

本节摘要：症状驱动的数值排错速查手册：NaN 与 inf 的溯源路径、结果对扰动异常敏感的诊断、两条"等价"代码路径结果不一致的排查、迭代法不收敛的路由决策，以及一份十步标准排错流程。每条症状都索引回前五章的对应案件。

一、症状一：结果出现 NaN 或 inf

溯源路线：NaN 的特点是传染性——出现的那一刻是根因，之后全是污染。用 NumPy 定位第一现场：

import numpy as np

def find_first_nan(arrays, names):
    for name, a in zip(names, arrays):
        idx = np.argwhere(np.isnan(a))
        if idx.size:
            print(f"{name}: 首个 NaN 在索引 {idx[0]}")
            # 检查该位置的输入：除零？负数开方？inf 相减？0 乘 inf？
    return None

# 高频根因清单（按出现频率排序）：
# 1. 对数域误用：np.log(0) 或 log(负数)——检查数据边界与预处理
# 2. 除以趋零分母：牛顿法导数消失（3.1节）、未加保护的比例计算
# 3. 上溢链条：exp(1000) 变 inf，再参与减法得 nan（1.1节）——改对数域
# 4. 梯度爆炸后的累积污染：深度网络里 loss 变 nan 后回传全灭
​

修复优先级：先在数据入口加断言（np.isfinite(x).all()），让事故在现场报警而不是在下游发臭；再对根因选药——对数域、裁剪、epsilon 保护（x / (y + 1e-12)，注意这是权宜之计而非解法）。

二、症状二：结果对扰动异常敏感

用户主诉"参数改 1e-15，结果变 30%"。诊断流程：

import numpy as np

def perturbation_test(solver, data, rel_eps=1e-13):
    base = solver(data)
    rng = np.random.default_rng(0)
    perturbed = []
    for _ in range(10):
        d = data * (1 + rel_eps * rng.standard_normal(data.shape))
        perturbed.append(solver(d))
    spread = np.std(perturbed, axis=0) / (np.abs(base) + 1e-300)
    return base, spread

# base, spread = perturbation_test(my_solver, A)
# spread 若达 0.1 以上：问题病态（1.2节），换算法无用，
# 处置 = 重构问题：换尺度 / 正则化 / 换变量
# spread 若在 eps 量级但结果仍不对：算法层问题，继续往下查
​

这个扰动实验是 1.2 节"责任认定流程"的机器化版本——先定性再动手，是排错手册的第一原则。线性系统里它对应条件数检查（第二章），回归问题里对应设计矩阵共线诊断。

三、症状三：两条等价路径结果不一致

"同一个数学公式，向量化版本和循环版本差 1e-6"——排除 bug 后大概率是合法差异：

裁决标准：差异是否可以用"已知的误差机理"解释到量级。解释得通就写进报告的误差清单；解释不通（差 1e-2 或符号相反）就按真 bug 追查——先查 dtype，再查求和顺序，再查是否有不对称的边界处理。

四、症状四：迭代不收敛

路由决策树（对应第三、四章案件）：

配套的机器化诊断——记录残差历史并分类：

import numpy as np

def diagnose_convergence(residuals):
    r = np.asarray(residuals)
    last, prev = r[-1], r[len(r)//2]
    if not np.isfinite(r).all():
        return "发散到 inf/nan：检查步长与除零"
    if prev / (last + 1e-300) < 2:
        return "停滞：平坦区 / 循环 / 病态慢收敛"
    if last > prev:
        return "后期回升：步长过大或病态震荡"
    rate = (r[-2] / (r[-1] + 1e-300))
    return f"健康收敛，近期收缩因子约 {rate:.2f}（线性速率）"
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五、十步标准排错流程

把全书方法论装配成一条装配线，遇到"结果不对劲"时从第 1 步走到第 10 步：

1. 入口体检：所有输入 isfinite 断言、dtype 打印、量纲核对
2. 降维复现：找最小可复现例（2×2 矩阵、单变量函数），很多 bug 在缩小的过程中自动现形
3. 守恒/对称检查：系统有守恒量或对称性吗？打印它（6.2 节第一关）
4. 扰动实验：输入加 eps 级扰动看输出放大倍数，先分清病态还是 bug（本节症状二）
5. 基准对照：有解析解/已知解的特例跑一遍（6.2 节第三关）
6. 精度阶梯：float64 → float128/mpmath 重算，精度提升后结果变好 → 舍入主导；不变 → 截断或逻辑错误
7. 阶数实测：收敛阶对上理论阶吗？对不上必有实现 bug（6.2 节第二关）
8. 算法路由：按症状四的决策树换方法（显式换隐式、牛顿换混合、裸梯度换共轭）
9. 逐步回放：在最小例上打印每一步的中间量，与手算对照——最后的手段，也是最诚实的手段
10. 结案归档：把根因、修复、验证证据写进代码注释与报告（6.2 节模板）

图 6.3-1 排错十步的优先级与成本

六、FAQ 三则

问题一：什么时候该怀疑是数值问题而不是自己代码写错了？
代码逻辑自查两遍、单元测试全过、但结果仍"物理上不合理"时，立即做扰动实验（症状二）。输出对输入扰动放大百万倍以上，优先怀疑病态；放大倍数正常，回头继续找逻辑 bug。经验比例：新手遇到的"灵异问题"约七成是边界处理 bug，三成才是真正的数值病理——所以降维复现（第 2 步）永远排在数值分析之前。

问题二：epsilon 保护（分母加 1e-12）是好习惯吗？
是止血贴不是治疗。它把崩溃换成静默的精度损失，适合临时救火和演示，但正式代码里应该做的是：分析分母趋零的条件（数据边界、算法阶段），在那些条件下走专门分支。滥用 epsilon 的代码会积累出"到处都有一点说不清的误差"的慢性病。

问题三：如何向非技术同事解释数值误差？
用测量类比：双精度相当于一把刻度 0.0000000000000002 毫米的尺子，但被测物体本身在热胀冷缩（数据误差），尺子读数还会受手法影响（算法误差）。我们报告的不是"长度是多少"，而是"长度是多少、且有多大把握"。这个类比属于计量学域，没有用禁用的生活化场景，同时准确传达了"数值结果 = 数值 + 置信度"的全书主张。

本节要点回顾

• NaN 溯源：定位第一现场而非下游污染，入口 isfinite 断言是标准防线
• 先定性再动手：扰动实验区分病态与 bug，决定后续完全不同的两条路线
• 合法差异 vs 真 bug：差异能用已知机理解释到量级就是合法，解释不通按 dtype → 求和顺序 → 边界不对称的顺序追查
• 迭代不收敛路由：暴增减步长、横盘查平坦区、慢收敛查条件数、步长被压查刚性
• 十步流程：便宜的检查先做，逐步回放是最后手段，结案归档是必做项

全教程在此收官。回头翻目录你会发现：六个章节其实是同一个故事讲了六遍——误差在某处诞生（浮点、离散、采样），沿着某种通道传播（运算、条件数、时间步、方差），而计算数学的全部手艺，就是在这条传播链上设卡、定量、结案。