2.2 贝塔衰变与电子俘获

2.2 贝塔衰变与电子俘获

本节摘要：贝塔类衰变不改变质量数，只把核内的中子与质子互換：丰中子核走贝塔Minus，缺中子核在贝塔Plus与电子俘获之间择路。三种方式的能量门槛与 Q 值算法在本节逐一给出，碳-14、氚、氟-18 三个例子覆盖全部情形；连续贝塔谱之谜还顺带把中微子请出场。贝塔粒子射程适中、能谱连续，是核化学计数测量里最常见的信号源。

第 1.2 节的方向判据说：谷的上方往下跳，谷的下方往上跳。这一节把"跳"的机理补全——弱相互作用在核里的三副面孔，以及每种面孔的能量账。

三副面孔，一张票据

贝塔Minus：核内一个中子变成质子，放出电子与反中微子，核素向周期表右移一格。贝塔Plus：一个质子变成中子，放出正电子与中微子，左移一格。电子俘获：核把核外电子（通常是内层）俘进来，质子变中子，只放出中微子，同样左移一格。三张面孔的开票规则不同——贝塔Plus要向静质量"预缴"两个电子的税款（1.022 MeV），电子俘获免缴但要求核与电子贴得够近。所以缺中子核素的选择是：富裕（Q 大于 1.022 MeV）走贝塔Plus，拮据改走电子俘获，不少核素两条路并行。

Q 值计算用原子质量表有一个广受欢迎的简化：贝塔Minus直接用母、子原子质量相减（放出的电子恰好抵消子核电荷增量）；贝塔Plus要再减 1.022 MeV 的门槛；电子俘获用母原子质量减子原子质量即可。

# 演算 2.2-1：三个经典贝塔 Q 值（原子质量，u，1 u = 931.494 MeV）
U = 931.494
# 例一：碳-14 → 氮-14（贝塔Minus，直接相减）
print(f"碳-14 贝塔Minus Q = {(14.003242 - 14.003074) * U * 1000:.1f} keV")
# 例二：氚 → 氦-3（贝塔Minus，最低能量的贝塔核素之一）
print(f"氚 贝塔Minus Q = {(3.016049 - 3.016029) * U * 1000:.1f} keV")
# 例三：氟-18 → 氧-18（Q 高于 1.022 MeV，贝塔Plus可用）
Qec = (18.000938 - 17.999160) * U
print(f"氟-18 Q_EC = {Qec:.3f} MeV，贝塔Plus端点 = {Qec - 1.022:.3f} MeV")
# 输出：
# 碳-14 贝塔Minus Q = 156.5 keV
# 氚 贝塔Minus Q = 18.6 keV
# 氟-18 Q_EC = 1.656 MeV，贝塔Plus端点 = 0.634 MeV
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三个数各有用途：碳-14 的 156 keV 端点让它的计数测量必须用薄窗探测器；氚的 18.6 keV 弱到无法穿透任何实用窗，液体闪烁计数是唯一出路（第 4 章再展开）；氟-18 的 0.634 MeV 正电子在组织里飞行约一毫米即湮灭成两支 511 keV 伽马——PET 成像的全部信号来源。

连续能谱之谜：账本上少了一半的钱

阿尔法能谱分立，贝塔能谱却从零到端点连续分布。当年的测量者甚至怀疑能量守恒在核尺度失效——每个贝塔电子本该拿到全额 Q，实测却多数只拿零头。泡利的解法干净利落：还有一种电中性、近乎无质量的粒子与电子分享能量，费米给它取名中微子。端点能量处电子独吞全款，所以端点仍是精确的 Q。中微子在 1956 年被直接探测到，成为核化学"从账目异常预言新粒子"的经典案例。

图 2-2 贝塔连续谱与阿尔法分立谱对比

电子俘获的独有信号：特性X射线与俄歇电子

电子俘获在核上只放出中微子，看似"无信号"，但核内空出的内层电子空位很快被外层电子填补，多余能量以特性X射线或俄歇电子的形式释放——X射线能量由子核元素决定。磷-32 这类纯贝塔核素没有这些信号，而碘-125（电子俘获核素）的X射线逃脱能力使其在放射免疫分析里风光多年。判别一个缺中子核素"是俘获还是正电子"，看 Q 与 1.022 MeV 的比较即可，第 2.2 演算已示范。

# 演算 2.2-2：每克现代碳里有多少碳-14 原子
import math
NA, LN2, YEAR = 6.02214076e23, math.log(2), 3.15576e7
l14 = LN2 / (5730 * YEAR)           # 碳-14 衰变常数
A14 = 0.226                         # 现代碳比活度（贝可每克碳）
N14 = A14 / l14                     # 每克碳的碳-14 原子数
C_atoms = 1 / 12.011 * NA           # 每克碳的总原子数（近似）
print(f"每克现代碳的碳-14 原子数 ≈ {N14:.3e}")
print(f"占全部碳原子的比例 ≈ {N14 / C_atoms:.1e}")
# 输出：
# 每克现代碳的碳-14 原子数 ≈ 5.896e+10
# 占全部碳原子的比例 ≈ 1.2e-12
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万亿分之一的丰度、每克近六百亿个原子——"数原子"（加速器质谱）与"数衰变"（贝塔计数）的灵敏度差距就源自这个悬殊的底数：底数远大于衰变速率，把底数直接数出来自然快得多。

湮灭光子：正电子留给成像的遗产

贝塔Plus的正电子在物质里慢化到静止后，不会安分地消失——它与一个电子湮灭，静质量转化成两支方向相反、能量各 511 千电子伏的伽马。这对"背靠背"的光子是正电子发射断层成像的全部物理基础：环形探测器捕捉同时到达的一对光子，反推湮灭点所在的连线，千万条连线叠加成代谢图像。氟-18 由此成为 PET 的当家核素；沿同一条思路，碳-11、氮-13、氧-15 这些超短寿命正电子核素配合同位素生产回旋加速器驻院供应，把"活体生化摄影"做成了常规检查。

双贝塔衰变：值得等待的最罕见跳转

贝塔类家族还有一个极端成员：双贝塔衰变，一次跳两个中子。它只在单贝塔衰变被能量禁阻的偶偶核素上出现，半衰期长到十的十八次方年级——碲-128 的双贝塔半衰期测得超过十的二十四次方年，是实验测过的最慢过程之一。深地实验室正在竞逐它的无中微子版本：一旦观测到，粒子物理的标准图景将被迫改写。链条追踪的视角下，它是"路牌上根本没写的隐秘小径"，走的人极少，路本身却通向更深的规律。

实战案例：碳-14 测年里的贝塔计数选型

背景：考古样品的碳-14 测年需要数碳-14 衰变放出的贝塔粒子，样品碳量常只有克级。

操作：156 keV 的贝塔在空气中射程约 25 厘米，可穿透薄窗；实验室采用内充气正比计数管（把样品碳转成二氧化碳直接充入管内）或加速器质谱（AMS）直接数原子。前者数衰变，后者数原子——后者灵敏度高出千倍，样品量需求从克降到毫克。

结果：同一批样品两种方法给出的年龄在误差范围内一致；AMS 的优势在小样品与老样品（四万年以上衰变计数已接近本底）。

解读：选型逻辑完全由贝塔谱的性质决定：低能连续谱使计数效率低、本底敏感，于是"数原子"绕开了对衰变率的依赖。第 3.4 节的年龄公式对两种方法通用——半衰期是它们共同的换算汇率。

变式练习：氚测水样年龄为什么只能用液体闪烁而不能用薄窗计数？提示：18.6 keV 的最大能量连最薄的窗都出不来；把水样与闪烁液混在一起，让贝塔直接在有机溶剂里发光，绕过了"窗口"这个概念。

贝塔一跳不换质量数、只换元素，账目要跟中微子三方分——正因为它无处不在又形态多变，核化学实验室里的日常计数，多数是在伺候这一类跳转。